2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.7函数的图像学案理含解析北师大版

第七节　函数的图像

授课提示：对应学生用书第33页

知识点　函数的图像

1.描点法作函数图像

其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：

首先：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；

（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）；

其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点）；

最后：描点，连线.

2.利用图像变换法作函数的图像

（1）平移变换

y＝f（x）y＝f（x－a）；

y＝f（x）y＝f（x）＋b.

（2）伸缩变换

y＝f（x）＝y＝f（ωx）；

y＝f（x）y＝Af（x）Ｗ.

（3）对称变换

y＝f（x）y＝－f（x）；

y＝f（x）y＝f（－x）；

y＝f（x）y＝－f（－x）.

（4）翻折变换

y＝f（x）y＝f（|x|）；

y＝f（x）y＝|f（x）|.

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二级结论

函数图像对称变换的相关结论

（1）y＝f（x）的图像关于直线x＝m对称的图像是函数y＝f（2m－x）的图像.

（2）y＝f（x）的图像关于直线y＝n对称的图像是函数y＝2n－f（x）的图像.

（3）y＝f（x）的图像关于点（a，b）对称的图像是函数y＝2b－f（2a－x）的图像.

必明易错

函数图像的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f（－2x）的图像到f（－2x＋1）的图像是向右平移个单位长度，其中是把x变成x－.

1.函数f（x）＝x＋的图像关于（　　）

A.y轴对称　　　　　　　 B.x轴对称

C.原点对称  D.直线y＝x对称

解析：函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）且f（－x）＝－f（x），即函数f（x）为奇函数.

答案：C

2.已知图①中的图像是函数y＝f（x）的图像，则图②中的图像对应的函数可能是（　　）

A.y＝f（|x|）  B.y＝|f（x）|

C.y＝f（－|x|）  D.y＝－f（－|x|）

解析：因为题图②中的图像是在题图①的基础上，去掉函数y＝f（x）的图像在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图像翻折到y轴右侧得来的，所以题图②中的图像对应的函数可能是y＝f（－|x|）.

答案：C

3.如图所示，函数f（x）的图像为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是__________.

解析：在同一直角坐标系内作出y＝f（x）和y＝log2（x＋1）的图像（如图）.由图像知不等式的解集是（－1，1].

答案：（－1，1]

4.（易错题）设f（x）＝2－x，g（x）的图像与f（x）的图像关于直线y＝x对称，h（x）的图像由g（x）的图像向右平移1个单位长度得到，则h（x）＝__________.

解析：与f（x）的图像关于直线y＝x对称的图像所对应的函数为g（x）＝－log2x，再将其图像右移1个单位长度得到h（x）＝－log2（x－1）的图像.

答案：－log2（x－1）

授课提示：对应学生用书第34页

题型一　函数图像的识别　　

[例]　（2020·高考浙江卷）函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图像可能为（　　）

解析：因为f（x）＝xcos x＋sin x，则f（－x）＝－xcos x－sin x＝－f（x），即题中所给的函数为奇函数，函数图像关于坐标原点对称，

据此可知选项C、D错误；

且x＝π时，y＝πcos π＋sin π＝－π＜0，据此可知选项B错误.

答案：A

函数图像的识别方法

（1）特殊点法：根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图像是否经过这些点，若不满足则排除.

（2）函数性质法：根据选项中的图像特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项，有时需要借助导数工具求解.

（3）极限思想：应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果，使解题过程费时少，准确率高.

（4）图像变换法：有关函数y＝f（x）与函数y＝af（bx＋c）＋h的图像问题的判断，熟练掌握图像的平移变换（左加右减，上加下减）、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题.

[题组突破]

1.（2021·淄博模拟）函数f（x）＝ln（x2＋2）－ex－1的图像可能是（　　）

解析：当x→＋∞时，f（x）→－∞，

故排除D；

易知f（x）在R上连续，故排除B；

且f（0）＝ln 2－e－1＞0，故排除C.

答案：A

2.已知函数f（x）的图像如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　）

A.f（x）＝x2－2ln |x|

B.f（x）＝x2－ln |x|

C.f（x）＝|x|－2ln |x|

D.f（x）＝|x|－ln |x|

解析：由函数图像可得，函数f（x）为偶函数，且x＞0时，函数f（x）的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，，2，1，由此可得仅函数f（x）＝x2－ln |x|符合条件.

答案：B

题型二　函数图像的应用　　

考法（一）　研究函数的性质

[例1]　已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是（　　）

A.f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）

B.f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）

C.f（x）是奇函数，递减区间是（－1，1）

D.f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）

[解析]　将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得

f（x）＝画出函数f（x）的图像，如图所示，观察图像可知，函数f（x）的图像关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1，1）上单调递减.

[答案]　C

利用函数的图像研究函数的性质

对于已知或解析式易画出其在给定区间上图像的函数，其性质常借助图像研究：

（1）从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值.

（2）从图像的对称性，分析函数的奇偶性.

（3）从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.

考法（二）　研究不等式

[例2]　（1）若不等式（x－1）2＜logax（a＞0，且a≠1）在x∈（1，2）内恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

A.（1，2]　　　　　　　　 B.

C.（1，）  D.（，2）

（2）设函数f（x）＝|x＋a|，g（x）＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是__________.

[解析]　（1）要使当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2＜logax恒成立，只需函数y＝（x－1）2在（1，2）上的图像在y＝logax的图像的下方即可.

当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图所示，要使x∈（1，2）时，y＝（x－1）2的图像在y＝logax的图像的下方，只需（2－1）2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是（1，2].

（2）如图所示，作出函数f（x）＝|x＋a|与g（x）＝x－1的图像，观察图像可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞）.

[答案]　（1）A　（2）[－1，＋∞）

当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.

[题组突破]

1.设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f（1）＝0，则不等式＜0的解集为（　　）

A.（－1，0）∪（1，＋∞）  B.（－∞，－1）∪（0，1）

C.（－∞，－1）∪（1，＋∞） D.（－1，0）∪（0，1）

解析：因为f（x）为奇函数，所以不等式＜0可化为＜0，即xf（x）＜0，f（x）的大致图像如图所示.所以xf（x）＜0的解集为（－1，0）∪（0，1）.

答案：D

2.（2021·贵阳模拟）已知函数f（x）的图像如图所示，则函数g（x）＝logf（x）的定义域是__________.

解析：当f（x）＞0时，函数g（x）＝logf（x）有意义，由函数f（x）的图像知满足f（x）＞0的x∈（2，8].

答案：（2，8]

　函数图像应用中的核心素养

（一）直观想象——数形结合思想在函数问题中的应用

[例1]　已知函数f（x）＝则对任意x1，x2∈R，若0＜|x1|＜|x2|，则下列不等式成立的是（　　）

A.f（x1）＋f（x2）＜0　　　 B.f（x1）＋f（x2）＞0

C.f（x1）－f（x2）＞0  D.f（x1）－f（x2）＜0

[解析]　函数f（x）的图像如图所示，且f（－x）＝f（x），从而函数f（x）是偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数.又0＜|x1|＜|x2|，所以f（x2）＞f（x1），即f（x1）－f（x2）＜0.

[答案]　D

数形结合思想的主要方面是“以形助数”寻找解决问题的途径，在函数问题中数形结合思想的应用非常广泛.本例借助图形得出函数f（x）是偶函数，且在[0，＋∞）上为增函数的性质，进而得出结论f（x1）－f（x2）＜0.

（二）创新应用——由实际问题的变化过程探究函数图像

[例2]　广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”.如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f（x），则y＝f（x）的图像大致为（　　）

[解析]　根据题图中信息，可将x分为4个区间，即[0，π），[π，2π），[2π，4π），[4π，6π]，当x∈[0，π）时，函数值不变，y＝f（x）＝1；当x∈[π，2π）时，设与的夹角为θ，因为||＝1，||＝2，θ＝x－π，所以y＝（－）2＝5－4cos θ＝5＋4cos x，所以y＝f（x）的图像是曲线，且单调递增；当x∈[2π，4π）时，＝－，设与的夹角为α，||＝2，||＝1，α＝2π－x，所以y＝||2＝（－）2＝5－4cos α＝5－4cos ，函数y＝f（x）的图像是曲线，且单调递减.

[答案]　A

解决此类问题，可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图像；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图像的变化特征，从而得出结果.

[题组突破]

1.已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）

A.（－∞，0]　　　　　 B.（－∞，1]

C.[－2，1]  D.[－2，0]

解析：由y＝|f（x）|的图像（如图所示）知，①当x＞0时，只有a≤0时才能满足|f（x）|≥ax.②当x≤0时，y＝|f（x）|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f（x）|≥ax得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立；

当x＜0时，不等式等价为x－2≤a.

∵x－2＜－2，∴a≥－2.综上可知，a∈[－2，0].

答案：D

2.如图，已知l1⊥l2，点O在l1上，半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，直线l2被圆O截得的上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y＝f（t）的图像大致为（　　）

解析：如图，设直线l2与圆O交于M，N两点，∠MON＝α，由弧长公式知x＝α，在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos ＝＝1－t，所以y＝cos x＝2cos2－1＝2（t－1）2－1.又0≤t≤1.

答案：B