2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数学案理含解析北师大版

第五节　指数与指数函数

授课提示：对应学生用书第26页

知识点一　根式与指数幂的运算

1.根式的概念

2.两个重要公式

（1）＝

（2）（）n＝a（注意a必须使有意义）.

3.有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正分数指数幂：a＝（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1）；

②负分数指数幂：a＝＝（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1）；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

（2）有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈Q）；

②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；

③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）.

• 温馨提醒 •

在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数.易忽视字母的符号.

1.（易错题）化简4a·b÷的结果为（　　）

A.－　　　　　　 B.－

C.－  D.－6ab

解析：原式＝4÷ab＝－6ab－1＝－.

答案：C

2.化简（x＜0，y＜0）＝__________.

解析：因为x＜0，y＜0，所以＝（16x8·y4）＝（16）·（x8）·（y4）＝2x2|y|＝－2x2y.

答案：－2x2y

知识点二　指数函数的图像与性质

• 温馨提醒 •

指数函数y＝ax（a>0，a≠1）的图像和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1.

1.某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为（　　）

A.y＝a（1＋p%）x（0＜x＜m）

B.y＝a（1＋p%）x（0≤x≤m，x∈N）

C.y＝a（1＋xp%）（0＜x＜m）

D.y＝a（1＋xp%）（0≤x≤m，x∈N）

解析：由题意可知，y＝a（1＋p%）x，其中0≤x≤m，x∈N.

答案：B

2.函数f（x）＝ax－（a＞0，a≠1）的图像可能是（　　）

解析：当a＞1时，将y＝ax的图像向下平移个单位长度得f（x）＝ax－的图像，A，B都不符合；当0＜a＜1时，将y＝ax的图像向下平移个单位长度得f（x）＝ax－的图像，而大于1.

答案：D

3.（易错题）若函数f（x）＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝__________.

解析：当a＞1时，a＝2；当0＜a＜1时a－1＝2，即a＝.

答案：2或

授课提示：对应学生用书第27页

题型一　指数函数的图像及应用　　

1.函数f（x）＝1－e|x|的图像大致是（　　）

解析：由f（x）＝1－e|x|是偶函数，其图像关于y轴对称，排除B，D.又e|x|≥1，所以f（x）的值域为（－∞，0]，排除C.

答案：A

2.已知f（x）＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f（a）＞f（c）＞f（b），则必有（　　）

A.a＜0，b＜0，c＜0　　 B.a＜0，b＞0，c＞0

C.2－a＜2c  D.1＜2a＋2c＜2

解析：作出函数f（x）＝|2x－1|的图像如图所示，因为a＜b＜c，且有f（a）＞f（c）＞f（b），所以必有a＜0，0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1.

答案：D

1.对于已知函数解析式识别函数图像的选择题，可以考虑应用特值法.

2.对于与指数函数的图像有关的问题，一般从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.

[注意]　当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论.

题型二　指数函数的性质及应用　　

考法（一）　比较大小或解不等式

[例1]　（1）（2020·高考全国卷Ⅱ）若2x－2y＜3－x－3－y，则（　　）

A.ln（y－x＋1）＞0　　　　　 B.ln（y－x＋1）＜0

C.ln|x－y|＞0  D.ln|x－y|＜0

（2）若偶函数f（x）满足f（x）＝2x－4（x≥0），则不等式f（x－2）＞0的解集为__________.

[解析]　（1）∵2x－2y＜3－x－3－y，∴2x－3－x＜2y－3－y.

 ∵y＝2x－3－x＝2x－在R上单调递增，

∴x＜y，∴y－x＋1＞1，∴ln（y－x＋1）＞ln 1＝0.

（2）f（x）为偶函数，

当x＜0时，f（x）＝f（－x）＝2－x－4.

∴f（x）＝

当f（x－2）＞0时，有或解得x＞4或x＜0.

∴不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}.

[答案]　（1）A　（2）{x|x＞4或x＜0}

1.比较两个指数幂大小时，尽量化为同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造同一幂函数，利用图像比较大小.

2.有关指数不等式问题，应注意a的取值，及结合指数函数的性质求解.

考法（二）　与指数函数有关的值域问题

[例2]　（1）函数y＝的值域是（　　）

A.[0，＋∞）  B.[0，4]

C.[0，4）  D.（0，4）

（2）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝－＋，则此函数的值域为__________.

[解析]　（1）函数y＝中，∵16－2x≥0，∴2x≤16.因此2x∈（0，16]，∴16－2x∈[0，16）.故y＝∈[0，4）.

（2）设t＝，当x≥0时，2x≥1，∴0＜t≤1，f（t）＝－t2＋t＝－＋，∴0≤f（t）≤，故当x≥0时，f（x）∈.∵y＝f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f（x）∈.故函数的值域为.

[答案]　（1）C　（2）

形如y＝a2x＋b·ax＋c（a>0，且a≠1）型函数的最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围.

考法（三）　指数函数性质的应用

[例3]　已知函数f（x）＝a|x＋b|（a＞0，且a≠1，b∈R）.

（1）若f（x）为偶函数，求b的值；

（2）若f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，试求a，b应满足的条件.

[解析]　（1）因为f（x）为偶函数，

所以对任意的x∈R，都有f（－x）＝f（x），

即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.

（2）记h（x）＝|x＋b|＝

①当a＞1时，f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，

即h（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，所以－b≤2，b≥－2；

②当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，＋∞）上是减函数，但h（x）在区间[－b，＋∞）上是增函数，故不存在a，b的值，使f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数.

所以f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数时，a，b应满足的条件为a＞1且b≥－2.

与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用.

　与指数有关的核心素养

（一）数学抽象、数学运算——指数运算的实际应用

[例1]　（2019·高考全国卷Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝（R＋r）.设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为（　　）

A. R　　　　　　　 B. R

C. R  D. R

[解析]　由α＝得r＝αR，代入＋＝（R＋r），

整理得＝.

又∵≈3α3，∴3α3≈，∴α≈，

∴r＝αR≈R.

[答案]　D

高考题只是把物理竞赛题中个别背景与条件进行变更，难度相似.与传统的解方程问题相比，本题以学生熟悉的“嫦娥四号”为背景，看起来是物理问题，实则考查数学中的解方程，求近似值的内容.让学生感觉数学来源于生活，数学和物理不分家，考查了转化与化归能力，空间想象能力，以及运算求解能力，很好地考查了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

（二）创新应用——指数函数图像与性质的综合应用

[例2]　已知函数f（x）＝e|x|，函数g（x）＝对任意的x∈[1，m]（m＞1），都有f（x－2）≤g（x），则m的取值范围是（　　）

A.（1，2＋ln 2）　　　　　　 B.

C.（ln 2，2]  D.

[解析]　作出函数y1＝e|x－2|和y＝g（x）的图像（图略），可知当x＝1时，y1＝g（1），当x＝4时，y1＝e2＜g（4）＝e4，当x＞4时，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln 4，解得x≤＋ln 2.因为m＞1，所以1＜m≤＋ln 2.

[答案]　D

处理指数函数图像与性质的综合应用问题：一是要强化数形结合思想的运用，注意逻辑推理与数学运算能力.二是要强化分类讨论思想与等价转化思想的应用.

[题组突破]

1.（2020·高考全国卷Ⅲ）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数.当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ln 19≈3）（　　）

A.60  B.63

C.66  D.69

解析：因为I（t）＝，所以当I（t*）＝0.95K时，＝0.95K⇒

＝0.95⇒1＋＝⇒e－0.23（t*－53）＝－1⇒e0.23（t*－53）＝19⇒0.23（t*－53）＝ln 19⇒t*＝＋53≈＋53≈66.

答案：C

2.（2021·濮阳模拟）若“m＞a”是“函数f（x）＝＋m－的图像不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为（　　）

A.－2  B.－1

C.0  D.1

解析：因为f（0）＝m＋，且函数f（x）的图像不过第三象限，所以m＋≥0，即m≥－，因为“m＞a”是“m≥－”的必要不充分条件，所以a＜－，则实数a能取的最大整数为－1.

答案：B