2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线与直线方程学案理含解析北师大版

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第八章 平面解析几何第一节　直线与直线方程命题分析预测学科核心素养本节内容高考中很少独立考查，通常与切线方程、圆的方程、圆锥曲线相结合，难度中等．本节主要提升考生的数学运算、直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第165页知识点一　直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线l的倾斜角α的取值范围是[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α；(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．• 温馨提醒 •直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系θ0°0°＜θ＜90°90°90°＜θ＜180°k0k＞0不存在k＜0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　)A．　　　　　　 B．C．－  D．－解析：直线l的斜率k＝＝tan 30°＝．答案：A2．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．解析：由题意得＝1，解得m＝1．答案：1知识点二　直线方程名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点＝与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距＋＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线• 温馨提醒 •1．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．2．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．1．已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线方程为(　　)A．4x＋2y－5＝0  B．4x－2y－5＝0C．x＋2y－5＝0  D．x－2y－5＝0解析：线段AB的中点坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－，所以所求直线的斜率为2，故所求直线方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0．答案：B2．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝(　　)A．－24  B．12C．－12  D．24解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24．答案：A3．(易错题)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0．答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0授课提示：对应学生用书第166页题型一　直线的倾斜角与斜率　　1．已知直线2x－y－3＝0的倾斜角为θ，则sin 2θ的值是（　　）A．　　　　　　　 B．C．  D．解析：直线2x－y－3＝0的斜率k＝2，所以tan θ＝2，所以sin 2θ＝＝＝＝．答案：C2．（2021·烟台模拟）已知p：“直线l的倾斜角α＞”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的（　　）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件解析：直线l的倾斜角α＞，则直线l的斜率k＝tan α＞1或k＜0；又直线l的斜率k＞1，则tan α＞1，∴α∈，∴p是q的必要不充分条件．答案：B3．直线l过点P（－1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_________．解析：如图，过A（2，1），P（－1，0）的直线的斜率为k1＝＝，过B（0，），P（－1，0）的直线的斜率为k2＝＝．由图可知，过P的直线l与线段AB有公共点的斜率的取值范围是．答案：求倾斜角α的取值范围的一般步骤（1）求出tan α的取值范围．（2）利用正切函数的单调性，借助图像，确定倾斜角α的取值范围．题型二　直线方程的求法　　根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为；（2）直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12；（3）直线过点（5，10），且与原点的距离为5．解析：（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝（0≤α＜π），从而cos α＝±，则k＝tan α＝±．故所求直线方程为y＝±（x＋4），即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0．（2）由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点（－3，4），从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9．故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0．（3）当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k（x－5），即kx－y＋10－5k＝0．由点线距离公式，得＝5，解得k＝．故所求直线方程为3x－4y＋25＝0．综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0．求直线方程的注意事项（1）在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零）．（3）重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．题型三　直线方程的应用　　[例]　（1）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|·|PB|的最大值是　　　　；（2）已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝_________．[解析]　（1）由直线x＋my＝0求得定点A（0，0），直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m（x－1），所以得定点B（1，3）．当m＝0时，两条动直线垂直，当m≠0时，因为m＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5（当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立），所以|PA|·|PB|的最大值是5．（2）由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，2），直线l1的纵截距为2－a，因为0＜a＜2，所以2－a＞0，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2（2－a）＋×2（a2＋2）＝a2－a＋4＝＋，又0＜a＜2，所以当a＝时，面积最小．[答案]　（1）5　（2）求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或二次函数求解最值．[对点训练]已知直线x＋a2y－a＝0（a是正常数），当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是（　　）A．0　　　 B．2　　　　C．　　　　 D．1解析：直线x＋a2y－a＝0（a是正常数）在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1．答案：D　直线方程应用的核心素养数学运算——直线方程的交汇应用[例]　（2021·重庆巴蜀中学模拟）已知曲线y＝在点P（2，4）处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为（　　）A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0[解析]　y′＝＝－，当x＝2时，y′＝－＝－2，因此kl＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意知＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0．[答案]　B抓住导数的几何意义及直线方程的求法是解决此类问题的关键．[对点训练]已知不全为零的实数a，b，c成等差数列，过点A（1，2）作直线l：ax＋by＋c＝0的垂线与直线l交于点P，点Q在直线3x－4y＋12＝0上，则|PQ|的最小值是_________．解析：∵不全为零的实数a，b，c成等差数列，∴b＝，代入动直线l：ax＋by＋c＝0，得ax＋y＋c＝0，即a（2x＋y）＋c（y＋2）＝0．∵a，c不全为零，∴解得x＝1，y＝－2，∴动直线l过定点N（1，－2）．设点P（x，y），∵当点P与N不重合时，AP⊥NP，∴·＝（x－1，y－2）·（x－1，y＋2）＝0，整理，得x2＋y2－2x－3＝0，即（x－1）2＋y2＝4．∴点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线3x－4y＋12＝0上，圆心（1，0）到直线3x－4y＋12＝0的距离d＝＝3＞2，∴|PQ|的最小值等于圆心（1，0）到直线3x－4y＋12＝0的距离d减去圆的半径2，∴|PQ|的最小值为3－2＝1．答案：1