2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.10第2课时利用导数研究函数的极值与最值学案理含解析北师大版

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第二课时　利用导数研究函数的极值与最值授课提示：对应学生用书第49页题型一　导数与函数的极值  　　函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中、高档题．常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知函数极值情况求参数值(范围).考法(一)　知图判断函数极值[例1]　函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)(　　)A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点[解析]　导函数的图像与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点．[答案]　C知图判断函数的极值的情况：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号，最后判断是极大值点还是极小值点．考法(二)　求函数的极值[例2]　(2021·兰州模拟)已知函数f(x)＝x3－(a2＋a＋2)x2＋a2(a＋2)x，a∈R.(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)求函数y＝f(x)的极值点．[解析]　(1)当a＝－1时，f(x)＝x3－x2＋x，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以函数f(x)是R上的增函数，单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为f′(x)＝x2－(a2＋a＋2)x＋a2(a＋2)＝(x－a2)·[x－(a＋2)]，①当a＝－1或a＝2时，a2＝a＋2，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)为增函数，无极值点．②当a＜－1或a＞2时，a2＞a＋2，可得当x∈(－∞，a＋2)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当x∈(a＋2，a2)时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数；当x∈(a2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数．所以当x＝a＋2时，函数f(x)有极大值f(a＋2)；当x＝a2时，函数f(x)有极小值f(a2)．③当－1＜a＜2时，a2＜a＋2，可得当x∈(－∞，a2)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当x∈(a2，a＋2)时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数；当x∈(a＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数．所以当x＝a＋2时，函数f(x)有极小值f(a＋2)；当x＝a2时，函数f(x)有极大值f(a2)．利用导数研究函数极值问题的一般流程考法(三)　已知函数的极值求参数[例3]　(2021·洛阳模拟)若函数f(x)＝ex－(m＋1)ln x＋2(m＋1)x－1恰有两个极值点，则实数m的取值范围为(　　)A．(－e2，－e)　　　 B.C.  D．(－∞，－e－1)[解析]　由题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ex－(m＋1)＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，所以m＋1＝在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，令g(x)＝，则g′(x)＝，所以函数g(x)在，上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，其大致图像如图所示，要使m＋1＝在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则m＋1＜g(1)，即m＋1＜－e，即m＜－e－1，所以实数m的取值范围是(－∞，－e－1)．[答案]　D已知函数极值点或极值求参数的两个关键点(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[题组突破]1．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　)A．2　　　　　　　 B．－C．3＋ln 2  D．－2＋2ln 2解析：由题意得，f′(x)＝＋2ax－3，因为f(x)在x＝2处取得极小值，所以f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝，所以f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋x－3＝，所以f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－.答案：B2．已知函数f(x)＝ln x.(1)求函数f(x)的图像过点P(0，－1)的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围．解析：(1)由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为y＝x＋ln x0－1.把点P(0，－1)代入切线方程，得ln x0＝0，所以x0＝1，所以过点P(0，－1)的切线方程为y＝x－1.(2)因为g(x)＝f(x)－mx＋＝ln x－mx＋，所以g′(x)＝－m－＝＝－，令h(x)＝mx2－x＋m，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2.故只需满足即可，解得0＜m＜，即实数m的取值范围为.题型二　利用导数研究函数的最值  [例]　已知函数f(x)＝(a＞0)的导函数y＝f′(x)的两个零点分别为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．[解析]　(1)f′(x)＝＝令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex＞0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．又因为a＞0，所以－3＜x＜0时．g(x)＞0，即f′(x)＞0；当x＜－3，或x＞0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，所以f(x)的单调增区间是(－3，0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.因为f(x)的单调增区间是(－3，0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，所以f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者．而f(－5)＝＝5e5＞5，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.1.函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得，上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值．如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点，则该点也是最值点．2．注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题．[对点训练]已知定义在正实数集上的函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.(1)若函数g(x)＝f(x)－ax2＋1，在其定义域上g(x)≤0恒成立，求实数a的最小值；(2)若a＞0时，f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求实数a的取值范围．解析：(1)g(x)＝ln x－(a＋2)x＋1，由题意得a＋2≥恒成立．设h(x)＝(x＞0)，则h′(x)＝＝，所以当0＜x＜1时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，当x＞1时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，因此h(x)max＝h(1)＝1，所以a＋2≥1，可得a≥－1，所以实数a的最小值为－1.(2)f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝(x＞0，a＞0)，由f′(x)＝0，得x＝或x＝.①当a≥1时，0＜≤1，因为x∈[1，e]，所以f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)min＝f(1)＝－2，符合题意；②当＜a＜1时，1＜＜e，因为x∈[1，e]，所以当x∈时，f(x)单调递减，当x∈时，f(x)单调递增，f(x)min＝f＜f(1)＝－2，不合题意，舍去；③当0＜a≤时，≥e，因为x∈[1，e]，所以f(x)单调递减，f(x)min＝f(e)＜f(1)＝－2，不合题意，舍去．综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)．　利用导数研究函数最值中的核心素养数学建模——利用导数研究生活中优化问题的核心素养利用导数研究生活中的优化问题，主要是建立数学模型，利用导数求最值．[例]　 (2021·南通模拟)如图所示，现有一张边长为10 cm的正三角形纸片ABC，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形ADA1F1，BD1B1E，CE1C1F(剪去的四边形均有一组对角为直角)，然后把三个矩形A1B1D1D，B1C1E1E，A1C1FF1折起，构成一个以A1B1C1为底面的无盖正三棱柱．(1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；(2)求所折成的正三棱柱的体积的最大值．[解析]　(1)设A1D＝x，则AD＝x，A1B1＝10－2x.因为＝＝3，所以x＝(cm)．故该三棱柱的高为 cm.(2)因为A1B1＝10－2x＞0，所以0＜x＜.三棱柱的体积V(x)＝(10－2x)2××x＝(3x3－10x2＋25x)，所以V′(x)＝(9x2－20x＋25)＝(3x－5)(x－5)．因为当0＜x＜时，V′(x)＞0，V(x)单调递增，当＜x＜时，V′(x)＜0，V(x)单调递减，所以当x＝时，V(x)max＝(cm3)．故该三棱柱的体积的最大值为 cm3.1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0处的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．2．如果函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．[对点训练]国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”，为响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所．如图所示，有一个长方形地块ABCD，边AB为2 km，AD为4 km.地块的一角是草坪(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计)，将隔离出的△BEF作为健身场所．则△BEF的面积S的最大值为________(单位：km2)．解析：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得C(2，4)．设边缘线AC所在的抛物线为y＝ax2，把C(2，4)代入得a＝1.所以抛物线为y＝x2.设点P(t，t2)，t∈(0，2]．因为y′＝2x，所以过点P的切线EF的方程为y＝2tx－t2，令y＝0，得E.令x＝2得F(2，4t－t2)，所以△BEF的面积为S＝(4t－t2)＝(t3－8t2＋16t)，t∈(0，2]，而S′＝(3t2－16t＋16)＝(t－4)，由S′＞0，得t∈，由S′＜0，得t∈.所以S在上是增函数，在上是减函数，所以S在t＝时有最大值.答案：