2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案理含解析北师大版

这是一份2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案理含解析北师大版，共12页。

第三节　函数的奇偶性与周期性
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的高考情况看，本节以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择题、填空题为主，中等偏上难度.
本节通过函数奇偶性、周期性的应用考查数形结合思想、等价转化思想以及学生的逻辑推理和数学运算核心素养.

授课提示：对应学生用书第18页
知识点一　函数的奇偶性
奇偶性
定义
图像特点
偶函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）是奇函数
关于原点对称
• 温馨提醒 •
二级结论
1.函数奇偶性的几个重要结论
（1）如果一个奇函数f（x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0.
（2）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）.
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.
（4）奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
2.有关对称性的结论
（1）若函数y＝f（x＋a）为偶函数，则函数y＝f（x）关于x＝a对称.
若函数y＝f（x＋a）为奇函数，则函数y＝f（x）关于点（a，0）对称.
（2）若f（x）＝f（2a－x），则函数f（x）关于x＝a对称；
若f（x）＋f（2a－x）＝2b，则函数f（x）关于点（a，b）对称.
必明易错
1.判断函数的奇偶性时，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
2.判断函数f（x）的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x），而不能说存在x0使f（－x0）＝－f（x0）或f（－x0）＝f（x0）.
3.判定分段函数的奇偶性时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性.

1.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2＋，则f（－1）等于（　　）
A.－2　　　　　　　 B.0
C.1 D.2
解析：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（－1）＝－f（1）.
又∵f（1）＝12＋1＝2，∴f（－1）＝－2.
答案：A
2.已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　）
A.－ B.
C. D.－
解析：∵f（x）是偶函数，∴b＝0，又a－1＋2a＝0，∴a＝，∴a＋b＝.
答案：B
3.（易错题）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2＋4x－3，则函数f（x）的解析式为f（x）＝__________.
解析：设x＜0，则－x＞0，所以f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2＋4（－x）－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函数的定义可知f（0）＝0，
所以f（x）＝
答案：
知识点二　函数的周期性
（1）周期函数
对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.
• 温馨提醒 •
1.函数周期性的常用结论
对f（x）定义域内任一自变量x：
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）.
（2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）.
（3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）.
2.对称性与周期的关系
（1）若函数f（x）的图像关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f（x）必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期.
（2）若函数f（x）的图像关于点（a，0）和点（b，0）对称，则函数f（x）必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期.
（3）若函数f（x）的图像关于点（a，0）和直线x＝b对称，则函数f（x）必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期.

1.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝－f（x＋2），当x∈（0，2]时，f（x）＝2x＋log2x，则f（2 019）＝（　　）
A.5 B.
C.2 D.－2
解析：由f（x）＝－f（x＋2），得f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2 019）＝f（504×4＋3）＝f（3）＝f（1＋2）＝－f（1）＝－（2＋0）＝－2.
答案：D
2.设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1）时，f（x）＝则f＝__________.
解析：f＝f＝f＝－4×＋2＝1.
答案：1

授课提示：对应学生用书第19页
题型一　函数奇偶性的判断　　
1.已知函数f（x）＝，g（x）＝，则下列结论正确的是（　　）
A.h（x）＝f（x）＋g（x）是偶函数
B.h（x）＝f（x）＋g（x）是奇函数
C.h（x）＝f（x）g（x）是奇函数
D.h（x）＝f（x）g（x）是偶函数
解析：易知h（x）＝f（x）＋g（x）的定义域为{x|x≠0}.因为f（－x）＋g（－x）＝＋＝－－＝－＝＋＝f（x）＋g（x），所以h（x）＝f（x）＋g（x）是偶函数.
答案：A
2.（2021·福州模拟）下列函数为偶函数的是（　　）
A.y＝tan　　　　 B.y＝x2＋e|x|
C.y＝xcos x D.y＝ln|x|－sin x
解析：对于选项A，易知y＝tan为非奇非偶函数；对于选项B，设f（x）＝x2＋e|x|，则f（－x）＝（－x）2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f（x），所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f（x）＝xcos x，则f（－x）＝－xcos（－x）＝－xcos x＝－f（x），所以y＝xcos x为奇函数；对于选项D，设f（x）＝ln|x|－sin x，则f（2）＝ln 2－sin 2，f（－2）＝ln 2－sin（－2）＝ln 2＋sin 2≠f（2），所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数.
答案：B
3.判断f（x）＝的奇偶性.
解析：法一：（定义法）取x＞0，则－x＜0，
∴f（－x）＝（－x）2＋（－x）
＝x2－x＝－（－x2＋x）
＝－f（x）.
取x<0，则－x>0，
∴f（－x）＝－（－x）2＋（－x）＝－x2－x＝－（x2＋x）＝－f（x）.又f（0）＝0，
∴f（x）为奇函数.
法二：（图像法）作出f（x）＝的图像如图所示.可知f（x）为奇函数.


1.判断函数奇偶性的两个必备条件
（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域.
（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系.
在判断奇偶性的运算中，可以将问题转化为f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数）是否成立.
2.掌握一些重要类型的奇偶函数
（1）函数f（x）＝ax＋a－x为偶函数，函数f（x）＝ax－a－x为奇函数.
（2）函数f（x）＝＝（a>0且a≠1）为奇函数.
（3）函数f（x）＝loga为奇函数.
（4）函数f（x）＝loga（±x）为奇函数.
题型二　函数的周期性　　
1.已知函数f（x）＝如果对任意的n∈N＋，定义fn（x）＝，那么f2 019（2）的值为（　　）
A.0　　　　　　 B.1
C.2 D.3
解析：因为f1（2）＝f（2）＝1，f2（2）＝f（1）＝0，f3（2）＝f（0）＝2，f4（2）＝f（2）＝1，所以fn（2）的值具有周期性，且周期为3，所以f2 019（2）＝f3×673（2）＝f3（2）＝2.
答案：C
2.设定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝2x－x2，则f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 019）＝__________.
解析：因为f（x＋2）＝f（x），所以函数f（x）的周期T＝2，因为当x∈[0，2）时，f（x）＝2x－x2，所以f（0）＝0，f（1）＝1，所以f（0）＝f（2）＝f（4）＝…＝f（2 018）＝0，f（1）＝f（3）＝f（5）＝…＝f（2 019）＝1.故f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 019）＝1 010.
答案：1 010
3.函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x）（x∈R）.且在区间（－2，2]上，f（x）＝则f（f（15））的值为__________.
解析：由函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x）（x∈R），
可知函数f（x）的周期是4，
所以f（15）＝f（－1）＝＝，
所以f[f（15）]＝f＝cos＝.
答案：

函数周期性的判定与应用
（1）判定：判断函数的周期性只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T.
（2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期.
题型三　函数性质的综合应用　　
　　函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.常见的命题角度有：（1）单调性与奇偶性结合；（2）周期性与奇偶性结合；（3）单调性、奇偶性与周期性结合.
考法（一）　单调性与奇偶性的综合问题
[例1]　（2020·高考全国卷Ⅱ）设函数f（x）＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f（x）（　　）
A.是偶函数，且在单调递增
B.是奇函数，且在单调递减
C.是偶函数，且在单调递增
D.是奇函数，且在单调递减
[解析]　f（x）＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为.
又f（－x）＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|
＝－f（x），∴f（x）为奇函数，故排除A，C.
又当x∈时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln ＝ln ＝ln，
∵y＝1＋在上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在上单调递减.
[答案]　D

1.利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化.
2.注意偶函数的性质f（x）＝f（|x|）的应用.
考法（二）　周期性与奇偶性的综合问题
[例2]　（2021·龙岩模拟）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x＋1）＝－f（x－1），若f（－1）＞1，f（5）＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－1，3）　　　　　 B.（－∞，－1）∪（3，＋∞）
C.（－3，1） D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）
[解析]　由f（x＋1）＝－f（x－1），可得f（x＋2）＝－f（x），则f（x＋4）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，则f（5）＝f（1）＝a2－2a－4，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，f（－1）＞1，所以f（1）＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3.
[答案]　A

此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
考法（三）　单调性、奇偶性与周期性的综合问题
[例3]　已知定义在R上的偶函数满足：f（x＋4）＝f（x）＋f（2），且当x∈[0，2]时，y＝f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（2）＝0；②x＝－4为函数y＝f（x）图像的一条对称轴；③函数y＝f（x）在[8，10]上单调递增；④若方程f（x）＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.
以上命题中所有正确命题的序号为__________.

[解析]　据已知抽象函数关系式f（x＋4）＝f（x）＋f（2）可得f（－2＋4）＝f（－2）＋f（2），又函数为偶函数，故有f（2）＝f（－2）＋f（2）＝2f（2）⇒f（2）＝0，即①正确，因此f（x）＝f（x＋4），即函数是以4为周期的周期函数，又函数为偶函数，其图像必关于y轴即直线x＝0对称，又其周期为4，故x＝－4也为函数图像的一条对称轴，即②正确；又已知函数在区间[0，2]上单调递减，故将其图像沿x轴向右平移2个周期长度单位，其单调性不变，即在区间[8，10]上也单调递减，故③错误；如图所示，若方程f（x）＝m在区间[－6，－2]上有两根，则此两根必关于直线x＝－4对称，即x1＋x2＝－8，故④正确，综上所述，命题①②④正确.
[答案]　①②④

对于与函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
[题组突破]
1.（2020·新高考全国卷Ⅰ）若定义在R的奇函数f（x）在（－∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是（　　）
A.[－1，1]∪[3，＋∞）　 B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞） D.[－1，0]∪[1，3]
解析：因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0.又f（x）在（－∞，0）单调递减，且f（2）＝0，画出函数f（x）的大致图像如图（1）所示，则函数f（x－1）的大致图像如图（2）所示.

当x≤0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1）≤0，
得－1≤x≤0.
当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1）≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].
答案：D
2.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（　　）
A.f（－25）＜f（11）＜f（80）
B.f（80）＜f（11）＜f（－25）
C.f（11）＜f（80）＜f（－25）
D.f（－25）＜f（80）＜f（11）
解析：因为f（x）满足f（x－4）＝－f（x），
所以f（x－8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（－25）＝f（－1），f（80）＝f（0），f（11）＝f（3）.
由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x－4）＝－f（x），得f（11）＝f（3）＝－f（－1）＝f（1）.
因为f（x）在区间[0，2]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，所以f（x）在区间[－2，2]上是增函数，
所以f（－1）＜f（0）＜f（1），即f（－25）＜f（80）＜f（11）.
答案：D
3.已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）.若f（1）＝2，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝__________.
解析：法一：因为f（1－x）＝f（1＋x），所以函数f（x）的图像关于直线x＝1对称.因为f（x）是奇函数，所以函数f（x）的图像关于坐标原点（0，0）中心对称.数形结合可知函数f（x）是以4为周期的周期函数.因为f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，所以f（0）＝0.因为f（1－x）＝f（1＋x），所以当x＝1时，f（2）＝f（0）＝0；当x＝2时，f（3）＝f（－1）＝－f（1）＝－2；当x＝3时，f（4）＝f（－2）＝－f（2）＝0.综上，可得f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12×[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（1）＋f（2）＝12×[2＋0＋（－2）＋0]＋2＋0＝2.
法二：取一个符合题意的函数f（x）＝2sin，则结合该函数的图像易知数列{f（n）}（n∈N＋）是以4为周期的周期数列.故f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12×[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（1）＋f（2）＝12×[2＋0＋（－2）＋0]＋2＋0＝2.
答案：2
　函数奇偶性、周期性应用中的核心素养
（一）逻辑推理、数学运算——奇、偶函数的二级结论及应用
结论一：若函数f（x）是奇函数，且g（x）＝f（x）＋c，则必有g（－x）＋g（x）＝2c.
结论二：若函数f（x）是奇函数，则函数g（x）＝f（x－a）＋h的图像关于点（a，h）对称.
结论三：若函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.
[例1]　函数f（x）＝＋＋的图像的对称中心为（　　）
A.（－4，6）　　　　　　　 B.（－2，3）
C.（－4，3） D.（－2，6）
[解析]　设g（x）＝－－－，则g（－x）＝－－－＝＋＋＝－g（x），故g（x）为奇函数.易知f（x）＝3－＝g（x＋2）＋3，所以函数f（x）的图像的对称中心为（－2，3）.
[答案]　B

此类问题求解的关键是从所给函数式中分离（或变形）出奇函数，进而得出图像的对称中心，然后利用图像的对称性实现问题的求解.
[例2]　（2021·永州模拟）已知函数f（x）＝x3＋sin x＋1（x∈R），若f（a）＝2，则f（－a）＝__________.
[解析]　设F（x）＝f（x）－1＝x3＋sin x，显然F（x）为奇函数.又F（a）＝f（a）－1＝1，所以F（－a）＝f（－a）－1＝－F（a）＝－1，从而f（－a）＝0.
[答案]　0

由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数.有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能应用.
（二）创新应用——奇、偶函数与导数的综合问题
[例3]　设函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且满足f（x－2）＝－f（x）对一切x∈R恒成立，当－1≤x≤1时，f（x）＝x3，则下列四个命题：
①f（x）是以4为周期的周期函数；
②f（x）在[1，3]上的解析式为f（x）＝（2－x）3；
③f（x）在处的切线方程为3x＋4y－5＝0；
④f（x）的图像的对称轴中，有x＝±1.
其中正确的命题是（　　）
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①②③④
[解析]　∵f（x－2）＝－f（x）对一切x∈R恒成立，∴f（x－4）＝－f（x－2）＝－[－f（x）]＝f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，①正确；当1≤x≤3时，－1≤2－x≤1.∵当－1≤x≤1时，f（x）＝x3，∴f（2－x）＝（2－x）3＝－f（x－2）＝f（x），∴f（x）＝（2－x）3，②正确；∵f′（x）＝－3（2－x）2，∴k＝f′＝－.又∵f＝＝，∴f（x）在处的切线方程为y－＝－，即3x＋4y－5＝0，③正确；由f（x－2）＝－f（x）＝f（－x）知函数图像的一条对称轴为x＝－1，又∵f（x）为奇函数，其图像关于原点对称，∴f（x）的图像的对称轴中，有x＝1，④正确.
[答案]　D

利用函数的奇偶性和f（x－2）＝－f（x）可以得出函数的周期为4，然后结合－1≤x≤1时，f（x）＝x3，得到函数在[1，3]上的解析式为f（x）＝（2－x）3.利用导数的几何意义求得f（x）在处的切线的斜率，即可求得其切线方程.结合函数的奇偶性、周期性就可得到其图像的对称轴.
[题组突破]
1.设函数f（x）＝ln（1＋|x|）－，则使得f（x）＞f（2x－1）成立的x的取值范围是__________.
解析：易知函数f（x）的定义域为R，且f（x）为偶函数.当x≥0时，f（x）＝ln（1＋x）－，易知此时f（x）单调递增.所以f（x）＞f（2x－1）⇒f（|x|）＞f（|2x－1|），所以|x|＞|2x－1|，解得＜x＜1.
答案：
2.已知函数f（x）满足f（x＋1）＝，当f（1）＝2时，f（2 018）＋f（2 019）的值为__________.
解析：由f（x＋1）＝，f（1）＝2，得f（2）＝－3，f（3）＝－，f（4）＝，f（5）＝2，f（6）＝－3，f（7）＝－，∴f（x＋4）＝f（x），∴f（2 018）＋f（2 019）＝f（2）＋f（3）＝－.
答案：－