2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.9导数概念及其运算定积分学案理含解析北师大版

这是一份2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.9导数概念及其运算定积分学案理含解析北师大版，共13页。

第九节　导数概念及其运算、定积分
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，本节一直是高考的热点，主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义.导数的运算一般不单独考查，而是在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合考查，导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.
本节通过导数的运算及其几何意义考查考生的数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养.

授课提示：对应学生用书第40页
知识点一　导数的概念及运算
1.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数
（1）定义：称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率
＝为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，
即f′（x0）＝＝.
（2）几何意义：函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率Ｗ.相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）.
2.函数y＝f（x）的导函数
如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）内的每一点处都有导数，其导数值在（a，b）内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f（x）在开区间内的导函数.记作f′（x）或y′.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f（x）＝c（c为常数）
f′（x）＝0
f（x）＝xα（α∈Q*）
f′（x）＝αxα－1
f（x）＝sin x
f′（x）＝cos x
f（x）＝cos x
f′（x）＝－sin x
f（x）＝ex
f′（x）＝ex
f（x）＝ax（a>0，且a≠1）
f′（x）＝axln a
f（x）＝ln x
f′（x）＝
f（x）＝logax
（a>0，且a≠1）
f′（x）＝
4.导数的运算法则
若f′（x），g′（x）存在，则有
（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；
（2）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；
（3）′＝（g（x）≠0）.
5.复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积.
• 温馨提醒 •
二级结论
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
2.函数y＝f（x）的导数f′（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′（x）|反映了变化的快慢，|f′（x）|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
必明易错
1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式（xα）′＝αxα－1与指数函数的求导公式（ax）′＝axln a混淆.
2.求曲线切线方程时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.
3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有区别.

1.函数y＝xcos x－sin x的导数为（　　）
A.xsin x　　　　　　　 B.－xsin x
C.xcos x D.－xcos x
解析：y′＝x′cos x＋x（cos x）′－（sin x）′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
答案：B
2.（2021·郑州模拟）曲线y＝1－在点（－1，－1）处的切线方程为 __________.
解析：因为y′＝，所以y′|x＝－1＝2.
故所求切线方程为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
3.有一机器人的运动方程为s＝t2＋（t是时间，s是位移），则该机器人在t＝2时的瞬时速度为__________.
解析：因为s＝t2＋，所以s′＝2t－，
所以s′|t＝2＝4－＝.
答案：
4.（易错题）已知直线y＝－x＋1是函数f（x）＝－·ex图像的切线，则实数a＝__________.
解析：设切点为（x0，y0），则f′（x0）＝－·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，a＝e2.
答案：e2
知识点二　定积分
1.定积分的概念
在f（x）dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式.
2.定积分的性质
（1）kf（x）dx＝f（x）dx（k为常数）；
（2）[f1（x）±f2（x）]dx＝f1（x）dx±f2（x）dx；
（3）f（x）dx＝f（x）dx＋f（x）dx（其中a 3.定积分的几何意义
条件
f（x）dx的几何意义
f（x）≥0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积
f（x）<0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积的相反数
f（x）在[a，b]
上有正有负
表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积
4.微积分基本定理
一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）＝f（x），那么f（x）dx＝F（b）－F（a），这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
其中F（x）叫做f（x）的一个原函数.
为了方便，常把F（b）－F（a）记作F（x），即f（x）dx＝F（x）＝F（b）－F（a）.

1．曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
解析：如图所示，两函数图像交点为(－1，－1)和(0，0)，所求面积S＝[x－(x2＋2x)]dx＝(－x2－x)dx
＝＝.

答案：A
2．定积分dx＝________．
解析：令y＝，则x2＋y2＝16(y≥0)，点(x，y)的轨迹为半圆，dx表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的，所以dx＝×π×42＝4π.
答案：4π

授课提示：对应学生用书第42页
题型一　导数的运算
1．(2021·宜昌模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D．－2
解析：因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝.
答案：C
2．(2021·泰安模拟)已知f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝(　　)
A．e2 B.1
C．ln 2 D．e
解析：因为f(x)＝x(2 019＋ln x)，
所以f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，
又f′(x0)＝2 020，
所以2 020＋ln x0＝2 020，所以x0＝1.
答案：B
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．
解析：因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.
答案：－


题型二　导数的几何意义
　　导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中、低档题．常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求与切线有关的参数取值(范围).
考法(一)　求切线方程
[例1]　(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x－1　　　　　　　 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
[解析]　f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，
f′(x)＝4x3－6x2，
所以切线的斜率k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，
切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
[答案]　B
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．
[解析]　因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
所以由解得x0＝1，y0＝0.
所以直线l的方程为y＝x－1，
即x－y－1＝0.
[答案]　x－y－1＝0

　求曲线y＝f(x)的切线方程
若已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程．
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
考法(二)　求切点坐标
[例2]　(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
[解析]　设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m)．
又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e)．
再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.
故点A的坐标为(e，1)．
[答案]　(e，1)
考法(三)　求参数值或范围
[例3]　(1)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
(2)(2021·成都模拟)若曲线f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
[解析]　(1)∵y′＝aex＋ln x＋1，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，∴a＝e－1，将(1，1)代入y＝2x＋b，得2＋b＝1，b＝－1.
(2)f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，∴2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，∴a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．
[答案]　(1)D　(2)D

　与切线有关问题的处理策略
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
[题组突破]
1．(2021·钟祥模拟)已知函数f(x)＝，则函数f(x)的图像在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)
A．x＋y＋1＝0　　　　　　　 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
解析：∵f(x)＝，∴f′(x)＝，∴f′(0)＝－1，f(0)＝1，即函数f(x)的图像在点(0，1)处的切线斜率为－1，∴函数f(x)的图像在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.
答案：B
2．(2021·太原模拟)已知函数f(x)＝xln x＋a的图像在点(1，f(1))处的切线经过原点，则实数a的值为(　　)
A．1 B.0
C. D．－1
解析：∵f(x)＝xln x＋a，∴f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，f(1)＝a，∴切线方程为y＝x－1＋a，∴0＝0－1＋a，解得a＝1.
答案：A
3．若曲线C1：y＝ax2(a＞0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为________．
解析：由y＝ax2(a＞0)，得y′＝2ax.由y＝ex，得y′＝ex.曲线C1：y＝ax2(a＞0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，设公共切线与曲线C1切于点(x1，ax)，与曲线C2切于点(x2，ex2)，则 2ax1＝ex2＝，可得2x2＝x1＋2，∴a＝，记f(x)＝，则f′(x)＝，当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴当x＝2时，f(x)的值最小，f(x)min＝.∴a的取值范围是.
答案：
题型三　定积分
[例]　(1)定积分|x2－2x|dx＝(　　)
A．5　　　　　　　 B．6
C．7 D．8
(2)(2021·银川模拟)如图所示，阴影部分的面积是(　　)

A．2 B.－2
C. D.
[解析]　(1)|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋＝＋＝＋4＋4－＝8.
(2)由题意得S＝(3－x2－2x)dx＝＝.
[答案]　(1)D　(2)D

1.求定积分的三大常用方法

2．利用定积分求平面图形面积的四个步骤
(1)根据题意画出图形．
(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．
(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．
(4)计算定积分，写出答案．
[题组突破]
1．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)
A.　　　　　　　 B．4
C. D．6
解析：作出曲线y＝，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．

由得交点A(4，2)．
因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为[－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx
＝＝×8－×16＋2×4＝.
答案：C
2．(2021·青岛模拟)计算：(－x)dx＝________．
解析：由定积分的几何意义知dx是由y＝与直线x＝0，x＝1所围成的图形的面积，即是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆的面积的，故＝，(－x)dx＝－x2＝－，
∴(－x)dx＝.
答案：
　导数几何意义应用中的核心素养
(一)数学运算——两曲线的公切线应用题
[例1]　(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m值等于(　　)
A．－3　　　　　　　 B．1
C．3 D．5
[解析]　设函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x在公共点(a，b)处的切线相同(a＞0)，
由题得f′(x)＝2x，h′(x)＝－4，
所以
解得a＝1，b＝－4，m＝5.
[答案]　D
(2)(2020·高考全国卷Ⅲ)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B.y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
[解析]　圆x2＋y2＝的圆心为原点，半径为，经检验原点与选项A，D中的直线y＝2x＋1，y＝x＋的距离均为，即两直线与圆x2＋y2＝均相切，原点与选项B，C中的直线y＝2x＋，y＝x＋1的距离均不是，即两直线与圆x2＋y2＝均不相切，所以排除B，C.将直线方程y＝2x＋1代入y＝，得2()2－＋1＝0，判别式Δ＜0，所以直线y＝2x＋1与曲线y＝不相切，所以排除A.
[答案]　D

1.两曲线y＝f(x)，y＝g(x)在公共点(a，b)处有相同的切线，则满足方程组解此方程组可得a，进而得b后得出切线方程．
2．求曲线y＝f(x)，y＝g(x)切点不同的公切线，分别设出切点坐标(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，满足方程组f′(x1)＝g′(x2)＝，据此解得x1或者x2，即可求得公切线方程．
(二)创新应用——导数的几何意义与函数性质的交汇问题
[例2]　(2021·石家庄模拟)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　)
A．ln 2 B.－ln 2
C. D．－
[解析]　对f(x)＝ex＋a·e－x求导得f′(x)＝ex－ae－x，又f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故有f′(x)＝ex－e－x，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得ex0＝2或ex0＝－(舍去)，所以x0＝ln 2.
[答案]　A

求解导数的几何意义与函数性质交汇问题的两个注意点
(1)要注意函数相关性质在解题中的作用．
(2)抓住导数的几何意义，利用函数性质或图像求解问题．
[题组突破]
1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．3x＋y－4＝0　　　　　　　 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y－2＝0 D．3x－y－4＝0
解析：若x＞0，则－x＜0，所以f(－x)＝.又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝，此时f′(x)＝，f′(1)＝－3，f(1)＝1，所以切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.
答案：A
2．已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x或y＝x－1
B．y＝－ex或y＝－x－1
C．y＝ex或y＝x＋1
D．y＝－x或y＝－x＋1
解析：设切点分别为(x1，ex1)，(x2，ln x2＋2)，
因为f′(x)＝ex，g′(x)＝，
所以ex1＝＝，
所以＝，
所以(x2－1)(ln x2＋1)＝0，
所以x2＝1或x2＝，
因此直线l的方程为y－2＝1·(x－1)或y－1＝e·，
即y＝ex或y＝x＋1.
答案：C