2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.9第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案理含解析北师大版

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第九节　圆锥曲线的综合问题命题分析预测学科核心素养直线与圆锥曲线的综合应用问题（特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题）一直是高考热点问题．常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，难度较大．本节通过圆锥曲线的综合应用考查数学运算、逻辑推理等核心素养．第一课时　直线与圆锥曲线的位置关系授课提示：对应学生用书第191页知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）＝0，消去y（或消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元二次方程，即消去y，得ax2＋bx＋c＝0．（1）当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．（2）当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．• 温馨提醒 •1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为（　　）A．相交　　　　　　　 B．相切C．相离  D．不确定解析：直线y＝kx－k＋1＝k（x－1）＋1恒过定点（1，1）．又点（1，1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A2．过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有（　　）A．1条  B．2条C．3条  D．4条解析：过（0，1）与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过（0，1）与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．答案：C3．（易错题）直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是（　　）A．1  B．2C．1或2  D．0解析：因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A知识点二　弦长公式设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝|x1－x2|＝·＝ ·|y1－y2|＝ ·Ｗ．1．（2021·张掖市高三诊断）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝（　　）A．  B．C．5  D．解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2．∵p＝2，∴|AB|＝2＋＝．答案：D2．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M（1，1）为中点的弦所在直线方程是_________．解析：设过M（1，1）点的方程为y＝kx＋b，则有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋（1－k），联立方程组则有（1＋2k2）x2＋（4k－4k2）x＋（2k2－4k－2）＝0，所以＝·＝1，解得k＝－，故b＝，所以y＝－x＋，即x＋2y－3＝0．答案：x＋2y－3＝0授课提示：对应学生用书第192页题型一　直线与圆锥曲线的位置关系的判断　　1．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点，则实数k的值为（　　）A．　　　　　　　　　 B．0C．或0  D．8或0解析：由得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线有一个交点，则y＝2，若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝，综上可知k＝0或．答案：C2．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋（y＋1）2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（　　）A．（－∞，－3）∪（0，＋∞） B．（－∞，－2）∪（0，＋∞）C．（－3，0）   D．（－2，0）解析：因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t．将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16（t2＋2t）＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3．答案：A3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　　）A．  B．C．  D．解析：由得（1－k2）x2－4kx－10＝0．设直线与双曲线右支交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则解得－＜k＜－1，即k的取值范围是．答案：D直线与圆锥曲线位置关系的判定方法代数法即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y（或x）得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标几何法即画出直线与圆锥曲线的图像，根据图像判断公共点个数 题型二　直线与圆锥曲线位置关系的基本应用　　　　直线与圆锥曲线的位置关系的基本应用多涉及弦长与面积问题、中点弦问题等．考法（一）　弦长与方程问题[例1]　（2021·贵阳摸底）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的焦点F1到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y＝kx＋m（k＜0）与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程．[解析]　（1）∵椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴＝．又双曲线－y2＝1的其中一条渐近线方程为x－y＝0，椭圆C的焦点F1（－c，0），∴＝，解得c＝1，∴a＝，b＝1，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1．（2）由（1）知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由原点O到直线l：y＝kx＋m（k＜0）的距离为，得＝，即m2＝（1＋k2）．①将y＝kx＋m代入＋y2＝1，得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－2＝0，∴Δ＝16k2m2－4（1＋2k2）（2m2－2）＝8（2k2－m2＋1）＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝．又以线段AB为直径的圆经过点F2，∴·＝0，即（x1－1）（x2－1）＋y1y2＝0，∴（x1－1）（x2－1）＋（kx1＋m）（kx2＋m）＝0，即（1＋k2）x1x2＋（km－1）（x1＋x2）＋m2＋1＝0，∴（1＋k2）·＋（km－1）·＋m2＋1＝0，化简得3m2＋4km－1＝0．②由①②，得11m4－10m2－1＝0，∴m2＝1．又k＜0，∴满足Δ＝8（2k2－m2＋1）＞0．∴直线l的方程为y＝－x＋1．求解弦长的常用方法（1）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．（2）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x1－x2）2，（y1－y2）2，代入弦长公式．（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．考法（二）　中点弦问题[例2]　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y＝kx（k＞0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1，点P的坐标为．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值．[解析]　（1）由题意知解得故椭圆C的方程为＋＝1．（2）证明：设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆C上的点，所以＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－，所以k1＝＝－＝－．又k＝，故k1k＝－，为定值．1．“点差法”的四步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：2．“点差法”的常见结论设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点：（1）椭圆＋＝1（a＞b＞0）中的中点弦问题：kAB·kOP＝－；（2）双曲线－＝1（a＞0，b＞0）中的中点弦问题：kAB·kOP＝；（3）抛物线y2＝2px（p＞0）中的中点弦问题：kAB＝（y0为中点P的纵坐标）．[题组突破]1．（2021·衡阳模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）A．2　　　　　　　　 B．C．2  D．4解析：法一：设直线AB的方程为x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，由消去x得y2－4ty－4＝0，∴由yM＝＝2t＝2，得t＝1，∴S△AOB＝|OF||y1－y2|＝＝2．法二：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得kAB＝＝＝1，从而直线AB的方程为y＝x－1，由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋2＝y1＋y2＋4＝8，而点O到直线AB的距离d＝＝，从而S△AOB＝|AB|d＝2．答案：A2．（2021·石家庄摸底）已知点E在y轴上，点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|NF|＝12，则p＝_________．解析：如图，由题意知F．∵M为EF的中点，∴点M的横坐标为．设直线EF的方程为y＝k，k≠0．由得k2x2－（k2p＋2p）x＋＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则∵x1＝，∴x2＝p．当x＝p时，y2＝2p2，∴N（p，±p）．∵|NF|2＝＋（±p）2，∴144＝＋2p2，∴p2＝64，∵p＞0，∴p＝8．答案：83．已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点N（12，15），则双曲线C的离心率为_________．解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点为N（12，15），得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由两式相减得＝，则＝＝．因为直线AB的斜率k＝＝1，所以＝1，则＝，所以双曲线的离心率e＝＝ ＝．答案：　直线与圆锥曲线位置关系中的核心素养数学运算——在研究位置关系中应用数学运算是得到数学结果的重要手段．在该部分主要表现为理解运算对象——直线和圆锥曲线方程构成的方程组的运算，通过探究运算思路、选择运算过程，得到与位置关系相关的结论．[例]　已知椭圆r：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆r上．设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则＋＋＝（　　）A．－　　　　　　 B．－3C．－  D．－[解析]　因为椭圆r：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且离心率为，且a2＝b2＋c2，所以可求得椭圆的标准方程为＋＝1．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），因为A，B在椭圆上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减得k1＝＝－×＝－×，即＝－，同理可得＝－，＝－，所以＋＋＝－，因为直线OD，OE，OM的斜率之和为1，所以＋＋＝－×1＝－．[答案]　A该题考查了直线和圆锥曲线中的中点弦问题以及直线斜率的求解，还考查了数学运算核心素养．根据题意——中点的提示，可选用点差法利用中点坐标表示弦所在直线的斜率，从而起到简化计算流程的效果．由此可见，数学运算也要根据具体的要求和情景选择适宜的运算方法，避免烦琐的计算过程，提高自己的数学素养．[对点训练]已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，A，B是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若k1∈[1，2]，则k2的取值范围为（　　）A．  B．C．  D．解析：设A（x1，y1），M（x，y），则B（－x1，－y1）．因为A，M均在双曲线上，所以－＝1，①　－＝1，②　所以＝，即＝．因为双曲线的离心率e＝＝，所以＝1＋＝，所以＝，所以k1·k2＝·＝＝＝，所以k2＝，因为k1∈[1，2]，所以k2∈．答案：A