2022届高考数学一轮复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积学案理含解析北师大版

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第二节　空间几何体的表面积与体积命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，空间几何体的表面积和体积一直是高考的重点和热点，主要考查以三视图为背景的几何体的表面积和体积，与球有关的切、接问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等．本节通过空间几何体的表面积和体积考查转化与化归思想的应用，提升考生直观想象和数学运算核心素养．授课提示：对应学生用书第138页知识点　柱、锥、台和球的面积和体积1．柱、锥、台和球的侧面积和体积 侧面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝Sh＝πr2h＝πr2圆台S侧＝π（r1＋r2）lV＝（S上＋S下＋）h＝π（r＋r＋r1r2）h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝Ch′V＝Sh正棱台S侧＝（C＋C′）h′V＝（S上＋S下＋）h球S球面＝4πR2V＝πR32．几何体的表面积（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和Ｗ．（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．• 温馨提醒 •二级结论1．与体积有关的几个结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论（1）正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a．（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1．必明易错1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．3．易混侧面积与表面积的概念．1．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）A．12π　　　 B．π　　　　C．8π　　　　 D．4π答案：A2．（易错题）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_________．解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S＝3×4×2＋2×2×2＋4×2×2＋4×6＋×（2＋6）×2×2＝72＋16．答案：72＋163．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为_________．解析：因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×（）2＋2π×2＝12π．答案：12π4．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_________．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47．答案：1∶47授课提示：对应学生用书第139页题型一　空间几何体的表面积　　1．（2020·高考全国卷Ⅲ）右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（　　）A．6＋4B．4＋4C．6＋2D．4＋2解析：如图，该几何体为其中三个面是腰长为2的等腰直角三角形、第四个面是边长为2的等边三角形的三棱锥，所以该几何体的表面积为3××2×2＋×2×2×＝6＋2．答案：C2．（2020·高考北京卷）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（　　）A．6＋　　　　　　　 B．6＋2C．12＋  D．12＋2解析：由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：S＝3×（2×2）＋2×＝12＋2．答案：D3．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是_________．解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π．无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π．答案：32π2＋8π或32π2＋32π空间几何体表面积的求法（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．（3）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．题型二　空间几何体的体积　　1．（2020·高考浙江卷）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）A．　　 B．　　C．3　　　 D．6解析：由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：××1＋×2＝＋2＝．答案：A2．（2020·江西上饶模拟）已知下图为某几何体的三视图，则其体积为（　　） A．π＋  B．π＋C．π＋  D．π＋解析：几何体为半圆柱与四棱锥的组合体（如图），半圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面为边长为2的正方形，高为1，故几何体的体积V＝×π×12×2＋×22×1＝π＋．答案：C3．如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M­AB1C的体积是_________．解析：法一：因为VM­AB1C＝VABC­A1B1C1－VA­A1B1M－VB1­ABC－VC­B1C1M，所以VM­AB1C＝2××22－×2×××22－×2××22－×2×××22＝．法二：VM­AB1C＝VB1­AMC＝×S△AMC·h，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，M是A1C1中点，∴B1M⊥A1C1，且B1M⊥AA1，∴B1M⊥平面ACC1A1，∴h＝B1M＝．∴VB1­AMC＝×AC·AA1·B1M＝×2×2×＝．答案：求空间几何体的体积的常用方法（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解．（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积．（3）等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．题型三　与球有关的切、接问题　　　　与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考查的难点、易失分点，命题角度多变．归纳起来，常见的命题角度有：（1）外接球问题；（2）内切球问题．考法（一）　外接球问题[例1]　（1）已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为（　　）A．　　　　　　 B．2C．  D．3（2）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）A．  B．16πC．9π  D．（3）一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示（图中的三个四边形都是边长为2的正方形），则该几何体的外接球的体积为_________．[解析]　（1）由题意作图如下，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M．∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴BC＝5，又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，∴球O的半径R＝OA＝＝．（2）如图所示，作正四棱锥P­ABCD，设球的半径为R，正四棱锥底面中心为O′且球心为O，∵在正四棱锥P­ABCD中，AB＝2，∴AO′＝．∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝（）2＋（4－R）2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×＝．（3）依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，球的直径就是正方体的体对角线，∴2R＝2（R为球的半径），∴R＝，∴外接球的体积V＝πR3＝4π．[答案]　（1）C　（2）A　（3）4π考法（二）　内切球问题 [例2]　（1）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，表面积为S1，球O的体积为V2，表面积为S2，则的值是　　　　，＝_________．（2）（2020·高考全国卷Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．[解析]　（1）设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，所以＝＝，＝＝．（2）易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中BC＝2，AB＝AC＝3，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于AM＝  ＝2，故S△ABC＝×2×2＝2，设内切圆半径r，则：S△ABC  ＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝×AB×r＋×BC×r＋×AC×r＝×（3＋3＋2）×r＝2，解得r＝，其体积V＝πr3＝π．[答案]　（1）　　（2）π解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：[题组突破]1．（2020·高考全国卷Ⅱ）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（　　）A．　　 B．　　　C．1　　　 D．解析：如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，则O1为等边三角形ABC的中心．设△ABC的边长为a，则a2＝，解得a＝3，∴O1A＝××3＝．设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2．在Rt△OO1A中，OO1＝＝1，即O到平面ABC的距离为1．答案：C2．（2021·南宁模拟）体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为_________．解析：设球的半径为R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2．设底面边长为a，则×a＝1，所以a＝2．所以V＝×（2）2×2＝6．答案：6　与球有关的切、接问题中的核心素养直观想象——确定球心位置的策略方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．策略一　利用球的定义确定球心[素养解读]若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．（1）长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；（2）正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；（3）直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；（4）正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；（5）若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．[例1]　已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　）A．16π　　　　　　　　 B．20πC．24π  D．32π[解析]　已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为＝2，则半径为，故球的表面积为24π．[答案]　C策略二　构造长方体或正方体确定球心[素养解读]（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；（4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．[例2]　在正三棱锥S­ABC中，AB＝，M是SC的中点，AM⊥SB，则正三棱锥S­ABC的外接球的表面积为_________．[解析]　取AC的中点N，连接BN，SN，AM，因为SA＝SC，所以AC⊥SN．又△ABC是等边三角形，所以AC⊥BN，AC⊥平面BSN，所以AC⊥SB．又AM⊥SB，AC∩AM＝A，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA且SB⊥SC，故SA，SB，SC两两垂直，可以看作是从一个棱长为1的正方体上切下来的一个正三棱锥，如图所示，故正三棱锥S­ABC的外接球的直径为，所以半径为，故正三棱锥S­ABC的外接球的表面积为4×π×＝3π．[答案]　3π策略三　利用球的几何性质确定球心[素养解读]　利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．[例3]　正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为_________．[解析]　如图，M为底面△BCD的中心，易知AM⊥MD，DM＝1，AM＝．在Rt△DOM中，OD2＝OM2＋MD2，即OD2＝（－OD）2＋1，解得OD＝，故球O的表面积为4π×＝π．[答案]　π[题组突破]1．（2021·衡阳模拟）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（　　）A．6  B．12C．18  D．24解析：根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2，所以这个三棱柱的表面积等于3×2×2＋2××2×3＝18．答案：C2．（2021·揭阳模拟）在三棱锥A­BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A­BCD的外接球的体积为（　　）A．π  B．2πC．3π  D．4π解析：三棱锥A­BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径．设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，由题意得ab＝，ac＝，bc＝，解得a＝，b＝，c＝1，所以球的直径为＝，它的半径为，球的体积为×＝π．答案：A3．（2021·唐山模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线（实线和虚线）表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（　　）A．24π  B．29πC．48π  D．58π解析：如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体（三棱锥A­BCD），其外接球即为长方体的外接球，表面积为4πR2＝π（32＋22＋42）＝29π．答案：B