2022届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.4随机事件的概率学案理含解析北师大版

第四节　随机事件的概率

授课提示：对应学生用书第212页

知识点一　事件的关系与运算

1．事件的分类

2．事件的关系与运算

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互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）

A．至多有一次中靶　　 B．两次都中靶

C．只有一次中靶  D．两次都不中靶

解析：两次中“至少有一次中靶”即“一次中靶或两次中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都不中靶”．

答案：D

2．（2021·济南模拟）将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过3，事件B表示向上的一面出现的点数不小于4，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（　　）

A．A与B是对立事件

B．A与B是互斥而非对立事件

C．B与C是互斥而非对立事件

D．B与C是对立事件

解析：由题意知，事件A包含的基本事件为向上的点数为1，2，3，事件B包含的基本事件为向上的点数为4，5，6，事件C包含的点数为1，3，5，A与B是对立事件．

答案：A

知识点二　频率与概率

1．频率与概率

（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝为事件A出现的频率．

（2）对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率，简称为A的概率．

2．概率的几个基本性质

（1）概率的取值范围：0≤P（A）≤1Ｗ．

（2）必然事件的概率P（E）＝1Ｗ．

（3）不可能事件的概率P（F）＝0Ｗ．

（4）互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）Ｗ．

②若事件B与事件A互为对立事件，则P（A）＝1－P（B）Ｗ．

• 温馨提醒 •

　概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即

P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．

1．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如表：

根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由题意，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200＋2 100＝3 300，所以所求概率为＝．

答案：C

2．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是_________．

解析：抽取两张卡片的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种，和为奇数的事件有：（1，2），（1，4），（2，3），（3，4），共4种．

所以所求概率为＝．

答案：

3．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为_________．

解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P（A）＝＝，P（B）＝＝，所以P（）＝1－P（B）＝1－＝，显然A与互斥，从而P（A＋）＝P（A）＋P（）＝＋＝．

答案：

授课提示：对应学生用书第213页

题型一　事件的关系及概率公式的应用　　

1．（2020·新高考全国卷Ⅰ）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（　　）

A．62%　　　　　　　 B．56%

C．46%  D．42%

解析：用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则（60%－x）＋（82%－x）＋x＝96%，解得x＝46%．

答案：C

2．（2021·湖北十市联考）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B．“至少有一个黑球”与“都是红球”

C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

解析：A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．

答案：D

3．（2020·高考天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为　　　　；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

解析：甲、乙两球落入盒子的概率分别为，，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，

所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．

答案：　

1．判断互斥、对立事件的两种方法

（1）定义法

判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

（2）集合法

①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．

②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

2．求复杂的互斥事件的概率的方法

（1）直接法

（2）间接法（正难则反）

题型二　随机事件的频率与概率　　

[例]　（2021·咸阳检测）交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）是a元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：

据统计，某地使用某一品牌6座以下的车大约有5 000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：

以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率，按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格为a＝950元．

（1）求m的值，并估计该地本年度使用这一品牌6座以下汽车交强险费大于950元的车辆数；

（2）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的交强险保费不超过950元的概率．

[解析]　（1）m＝100－50－15－10－3－2＝20．估计该地本年度使用这一品牌6座以下汽车交强险费大于950元的车辆数为5 000×＝250．

（2）保费不超过950元的类型为A1，A2，A3，A4，所求概率为＝0．95．

随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．

[对点训练]

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0．1，哪类电影的好评率减少0．1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）

解析：（1）由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，

获得好评的第四类电影的部数是200×0．25＝50，

故所求概率为＝0．025．

（2）由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140×0．4＋50×0．2＋300×0．15＋200×0．25＋800×0．2＋510×0．1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372，

故所求概率估计为1－＝0．814．

（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．

　概率性质应用中的核心素养

数学运算——概率性质的应用问题

[例]　若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2－a，P（B）＝4a－5，则实数a的取值范围是（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

[解析]　由题意可得

即解得＜a≤．

[答案]　D

本题易漏0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，从而导致错误．

[对点训练]

若A，B互为对立事件，其概率分别为P（A）＝，P（B）＝，则x＋y的最小值为_________．

解析：由题意，x＞0，y＞0，＋＝1，则x＋y＝（x＋y）·＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝2y时等号成立，故x＋y的最小值为9．

答案：9