2022届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.3二项式定理学案理含解析北师大版

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第三节　二项式定理命题分析预测学科核心素养本节是高考的重点，主要考查二项展开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等．本节主要考查学生的数学运算核心素养和转化与化归思想的应用．授课提示：对应学生用书第209页知识点一　二项式定理1．二项式定理（1）定理：公式（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn（n∈N*）叫做二项式定理．（2）通项：Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第 k＋1项．2．二项式系数与项的系数（1）二项式系数：二项展开式中各项的系数C（k∈）叫做二项式系数．（2）项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包含符号等，与二项式系数是两个不同的概念．• 温馨提醒 •1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C（k＝0，1，…，n）．1．的展开式中x2的系数等于（　　）A．45　　　　　　　 B．20C．－30  D．－90解析：因为展开式的通项为Tr＋1＝（－1）rCxx－（10－r）＝（－1）rCx－10＋r，令－10＋r＝2，得r＝8，所以展开式中x2的系数为（－1）8C＝45．答案：A2．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为　　　　．解析：二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20．答案：20知识点二　二项式系数的性质1．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C增减性当k＜时，二项式系数逐渐增大；当k＞时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn或Cn2．各二项式系数的和（a＋b）n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n．二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．1．（2021·福州模拟）设n为正整数，的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（　　）A．－112  B．112C．－60  D．60解析：依题意得，n＝8，所以展开式的通项Tr＋1＝Cx8－r＝Cx8－4r（－2）r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为T3＝C（－2）2＝112．答案：B2．已知（1－2x）n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则（1－2x）n（1＋x）的展开式中含x2项的系数为（　　）A．71  B．70C．21  D．49解析：因为奇数项的二项式系数之和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此（1－2x）n（1＋x）的展开式中含x2项的系数为C（－2）2＋C（－2）＝70．答案：B3．若（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为_________．解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加除以2得a0＋a2＋a4＝8．答案：8授课提示：对应学生用书第210页题型一　二项展开式中的特定项或系数　　1．（2021·重庆巴蜀中学二诊）二项式的展开式中的常数项是（　　）A．－45　　　　　　　　 B．－10C．45  D．65解析：由二项式定理得Tr＋1＝C（－x2）r＝C（－1）rx－5，令－5＝0得r＝2，所以常数项为C（－1）2＝45．答案：C2．若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝（　　）A．2  B．C．1  D．解析：展开式中含的项是T6＝C（2x）2＝C22a5x－3，故有C22a5＝84，解得a＝1．答案：C3．（2020·高考天津卷）在 的展开式中，x2的系数是_________．解析：因为的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx5－r＝C·2r·x5－3r（r＝0，1，2，3，4，5），令5－3r＝2，解得r＝1．所以x2的系数为C×2＝10．答案：104．（2020·高考全国卷Ⅲ）的展开式中常数项是　　　　（用数字作答）．解析：的展开式的通项为Tr＋1＝C（x2）6－r＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，得常数项为C24＝240．答案：240与二项展开式有关问题的解题策略（1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．（2）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．（3）对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．或看成几个因式的乘积，再利用组合数公式求解．题型二　二项式系数的和与各项的系数和问题　　[例1]　在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为（　　）A．15　　　　　　　　　 B．45C．135  D．405[解析]　由题意知＝64，得n＝6，展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝3rCx6－，令6－＝3，得r＝2，则x3的系数为32C＝135．[答案]　C[例2]　若（1－x）9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝（　　）A．1  B．513C．512  D．511[解析]　令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－（－1）]9－1＝29－1＝511．[答案]　D赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：（1）形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b∈R）的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．（2）形如（ax＋by）n（a，b∈R）的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．[题组突破]1．的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是（　　）A．6　　　　　　　 B．C．4x  D．或4x解析：令x＝1，可得的展开式中各项系数之和为2n，即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C（）2＝6．答案：A2．若（1＋x）（1－2x）8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为（　　）A．29  B．29－1C．39  D．39－1解析：（1＋x）（1－2x）8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，所以a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1．答案：D　二项式定理应用中的核心素养数学运算——几个多项式的展开式问题1．几个多项式的和的展开式问题[例1]　（2020·高考浙江卷）二项展开式（1＋2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝　　　　；a1＋a3＋a5＝_________．[解析]　由题意，得a4＝C×24＝5×16＝80．当x＝1时，（1＋2）5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①当x＝－1时，（1－2）5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1．②①－②得，2（a1＋a3＋a5）＝243－（－1）＝244，可得a1＋a3＋a5＝122．[答案]　80　122对于几个多项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项公式，从每一个多项式中分别得到特定的项，再求和即可．2．几个多项式的积的展开式问题[例2]　（2021·唐山摸底）（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为（　　）A．5  B．10C．15  D．20[解析]　（x＋y）5展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx5－ryr（r∈N且r≤5），所以的各项与（x＋y）5展开式的通项的乘积可表示为：xTr＋1＝xCx5－ryr＝Cx6－ryr和Tr＋1＝Cx5－ryr＝Cx4－ryr＋2，在xTr＋1＝Cx6－ryr中，令r＝3，可得：xT4＝Cx3y3，该项中x3y3的系数为10，在Tr＋1＝Cx4－ryr＋2中，令r＝1，可得：T2＝Cx3y3，该项中x3y3的系数为5，所以x3y3的系数为10＋5＝15．[答案]　C求解形如（a＋b）m（c＋d）n的展开式问题的思路（1）若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如（a＋b）2·（c＋d）n＝（a2＋2ab＋b2）（c＋d）n，然后分别求解．（2）观察（a＋b）（c＋d）是否可以合并，如（1＋x）5·（1－x）7＝[（1＋x）（1－x）]5（1－x）2＝（1－x2）5（1－x）2．（3）分别得到（a＋b）m，（c＋d）n的通项，综合考虑．3．三项展开式的特定项问题[例3]　（x2＋x＋y）5的展开式中x5y2的系数为（　　）A．10　　　 B．20 C．30　　　　 D．60[解析]　（x2＋x＋y）5的展开式的通项为Tr＋1＝C（x2＋x）5－r·yr，令r＝2，则T3＝C（x2＋x）3y2，又（x2＋x）3的展开式的通项为Tk＋1＝C（x2）3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30．[答案]　C三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法（1）通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用二项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法求解．（2）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．[题组突破]1．（2020·高考全国卷Ⅰ）（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为（　　）A．5  B．10C．15  D．20解析：法一：∵（x＋y）5＝（x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5），∴x3y3的系数为10＋5＝15．法二：当x＋中取x时，x3y3的系数为C，当x＋中取时，x3y3的系数为C，∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15．答案：C2．（x－y＋2）6的展开式中y4的系数为（　　）A．40  B．60C．－40  D．－60解析：法一：因为（x－y＋2）6＝[（x＋2）－y]6，所以展开式中含y4的项为C（x＋2）2（－y）4＝15x2y4＋60xy4＋60y4，所以展开式中y4的系数为60．法二：由于（x－y＋2）6的展开式中y4项不含x，所以（x－y＋2）6的展开式中y4项就是（2－y）6的展开式中y4项，即C22（－y）4＝60y4，所以（x－y＋2）6的展开式中y4的系数为60．答案：B