北师大版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例导学案

6．2　平面向量在几何、物理中的应用举例

知识点　用向量方法解决平面几何问题的三个步骤

1.你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？

[提示]　关键是如何将几何问题转化为向量问题，对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解决．

2．利用向量可以解决哪些物理问题？

[提示]　利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的问题等．

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则． (　　)

(2)若△ABC为直角三角形，则有·＝0. (　　)

(3)若向量∥，则AB∥CD.  (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

类型1　向量在平面几何中的应用

【例1】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.

[证明]　法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，

又＝＋＝－a＋，

＝＋＝b＋，

所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.

故⊥，

即AF⊥DE.

法二：建立平面直角坐标系，如图，设正方形的边长为2，

则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)，

因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，

所以⊥，

即AF⊥DE.

用向量解平面几何问题的方法

(1)基法：选择两个不共线的向量作为基，用基表示有关向量，把问题转化为只含有基向量的运算．

(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算．

1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.

[解]　法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)，

则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，

所以·＝(＋)·(＋)

＝·＋·＋·＋·

＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°

＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.

所以⊥，即DP⊥EF.

法二：设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，

设P(x，x)，则D(0，1)，E(x，0)，F(1，x)，

所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)，

由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，

所以⊥，即DP⊥EF.

类型2　向量在解决物理问题中的应用

【例2】　在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．

[解]　设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则c＝a＋b.

如图，作向量＝a，＝b，＝c，则四边形OACB为平行四边形．

过C、B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D、E点．

由已知，||＝75(－)，||＝150，∠COD＝45°.

在Rt△COD中，OD＝OC cos 45°＝75，CD＝75.

又ED＝BC＝OA＝75(－)，

∴OE＝OD＋ED＝75.又BE＝CD＝75.

在Rt△OEB中，OB＝＝150，

sin ∠BOE＝＝，

∴||＝150，∠BOE＝30°.

故没有风时飞机的航速为150 km/h，航向为西偏北30°.

1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．

2.速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量的平行四边形法则和三角形法则．

3.在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．

2．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．

[解]　依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、风对车的速度为v风车、风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地．

如图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段是平行四边形ABDC的对角线．

∵||＝4米/秒，∠ACD＝30°，||＝2米/秒，

∴∠ADC＝90°.

在Rt△ADC中，||＝||cos 30°＝2(米/秒)，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为2米/秒．

1．若向量OF1＝(1，1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)

A．(5，0)   B．(－5，0)   C．    D．－

[答案]　C

2．已知△ABC，＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为(　　)

A．钝角三角形   B．直角三角形

C．锐角三角形   D．不能确定

[答案]　A

3．若＝2e1，＝4e1，且与的模相等，则四边形ABCD是(　　)

A．平行四边形  B．梯形

C．等腰梯形     D．菱形

C　[＝，又||＝||，

∴四边形ABCD为等腰梯形．]

4．已知F＝(2，3)作用一物体，使物体从A(2，0)移动到B(4，0)，则力F对物体作的功为________．

[答案]　4

5．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是________．

30　[∵＝－＝(3，6)＝，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵·＝(4，－2)·(3，6)＝0，∴⊥，

∴四边形ABCD为矩形，

又||＝，||＝，

∴S＝||·||＝30.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.用向量方法解决几何问题的关键是什么？

[提示]　用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．

2.用向量方法解决物理问题时应注意什么？

[提示]　用向量解决物理问题需注意：

(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来；

(2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解；

(3)要将数学问题还原为物理问题．