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    2021_2022学年新教材高中数学第1章三角函数§2任意角学案含解析北师大版必修第二册
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    北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用学案设计

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    这是一份北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用学案设计,共5页。

    §2 任意角

    学 习 任 务

    核 心 素 养

    1了解任意角的概念理解象限角的概念.(重点)

    2掌握终边相同的角的含义及其表示.(难点)

    1通过对任意角与象限角的概念的学习培养数学抽象素养.

    2借助终边相同的角的表示培养数学运算素养.

     

    周日早晨小明起床后发现自己的闹钟停在500这一刻他立即更换了电池调整到了正常时间630并开始正常的学习.

    小明在调整闹钟时间时时针与分针各转过了多少度?

    知识点1 角的概念

    角可以看成平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB所形成的图形.点O是角的顶点射线OAOB分别是角α的始边和终边.

    知识点2 按照角的旋转方向分为如下三类

    类型

    定义

    正角

    逆时针方向旋转形成的角

    负角

    顺时针方向旋转形成的角

    零角

    如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转终止位置OB与起始位置OA重合称这样的角为零角

    1.(1)角的三要素是什么?(2)正角、负角、零角是根据什么区分的?

    [提示] (1)角的三要素是顶点、始边、终边.

    (2)根据射线是否旋转及旋转的方向.

    1.思考辨析(正确的画“√”错误的画“×”)

    (1)小于90°的角都是锐角.  (  )

    (2)边与始边重合的角为零角.  (  )

    (3)大于90°的角是钝角  (  )

    (4)将时钟拔快20分钟则分针转过的度数是120°. (  )

    [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

    知识点3 象限角

    如果角的顶点在坐标原点角的始边在x轴的非负半轴那么角的终边(除端点外)在第几象限就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上就认为这个角不属于任何一个象限

    2.第二象限角比第一象限角大吗?

    [提示] 不一定.如120°是第二象限的角390°是第一象限的角120°390°.

    2.300°是第(  )象限角

    A    B.二    C.三    D.四

    A [因为-300°的终边和60°的终边相同所以它是第一象限角故选A.]

    知识点4 终边相同的角

    给定一个角α所有与角α终边相同的角连同角α在内可构成一个集合S{β|βαk·360°kZ}即任何一个与角α终边相同的角都可以表示成角α周角的整数倍的和.

    3.终边相同的角一定相等吗?

    [提示] 不一定.如30° 390°角的终边相同但并不相等.

    3.将-885°化为αk·360°(0° α<360°kZ)的形式是________

    [答案] 195°(3)× 360°

    类型1 角的概念的推广

    【例1 写出下图中的角αβγ的度数.

    (1)          (2)

    [] 由角的概念可知α330°β=-150°γ570°.

    1.理解角的概念的三个明确

    2.表示角时的两点注意

    (1)字母表示时:可以用希腊字母αβ等表示αα可以简化为 α.

    (2)用图示表示角时:箭头不可以丢掉因为箭头代表了旋转的方向即箭头代表着角的正负.

    1(1)图中角α________β________

    (2)经过10 min分针转了________

    (1)150° 210° (2)60° [(1)α=-(180°30°)=-150°β30°180°210°.

    (2)分针按顺时针转过了周角的即-60°.]

    类型2 终边相同的角

    【例2 (教材北师版P73改编)已知α=-1 190°.

    (1)α写成βk× 360°(kZ0° β360°)的形式指出它是第几象限角;

    (2)θ使θα的终边相同且-720° θ0°.

    [] (1)α=-1190°250°4×360°其中β250°它是第三象限角.

    (2)θ250°k×360°(kZ)

    k=-12就得到满足-720°θ0°的角

    250°360°=-110°250°720°=-470°.

    所以θ为-110°470°.

    求适合某种条件且与已知角终边相同的角其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式再依条件构建不等式求出k的值即可.

    2.写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合.

    [] 终边在直线OM上的角的集合为M{α|α45°k·360°kZ}{α|α225°k·360°kZ}

    {α|α45°2k·180°kZ}{α|α45°(2k1)·180°kZ}{α|α45°n·180°nZ}

    同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α60°n·180°nZ}

    所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°n·180° α 60°n·180°nZ}

    类型3 象限角

    【例3 (教材北师版P61改编)写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合.

    根据终边相同的角一定是同一象限的角可以先写出第一象限角的范围和第二象限角的范围再加上360°的整数倍即可.

    [] 第一象限角的集合:S{β|k·360°βk·360°90°kZ}

    第二象限角的集合:S{β|k·360°90°βk·360°180°kZ}

    ,象限角的判定方法,因为在直角坐标平面内0°360°范围的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系所以可利用终边相同的角的表示将角转化到0°360°范围内来判断.

    3在四个角-20°400°2 000°1 600°第四象限角的个数是(  )

    A0    B1    C2    D3

    C [20°是第四象限角

    400°=-360°40°与-40°终边相同是第四象限角

    2 000°=-6×360°160°160°终边相同是第二象限角

    1 600°4×360°160°160°终边相同是第二象限角故第四象限角有2个.]

    1A{α|α为锐角}B{α|α为小于90°的角}C{α|α为第一象限的角}D{α|α为小于90°的正角}则下列等式中成立的是(  )

    AAB    BBC    CAC    DAD

    D [根据角的分类可知应D.]

    2下面各组角中终边相同的是(  )

    A390°690°     B330°750°

    C480°420°   D3000°840°

    B [因为-330°=-360°30°750°720°30°

    330°角与750°角的终边相同.]

    3与-457°角终边相同的角的集合是(  )

    A{α|αk·360°457°kZ}

    B{α|αk·360°97°kZ}

    C{α|αk·360°263°kZ}

    D{α|αk·360°263°kZ}

    C [457°=-2×360°263°故选C.]

    4与-1 692°终边相同的最大负角是________

    252° [1 692°=-5×360°108°108°终边相同的最大负角为-252°.]

    51 060°的终边落在第________象限.

     [因为-1 060°=-3×360°20°所以-1 060°的终边在第一象限.]

    回顾本节内容自我完成以下问题:

    1.高中阶段所学的角与初中所学的角有什么不同?

    [提示] 对角的理解初中阶段是以静止的眼光看高中阶段应用运动的观点下定义理解这一概念时要注意旋转方向决定角的正负旋转量决定角的绝对值大小

    2.用集合表示区域角时表示形式唯一吗?

    [提示] 区域角的表示形式并不唯一如第二象限角的集合可以表示为{α|90°k× 360°α180°k×360°kZ}也可以表示为{α|270°k×360°α<-180°k×360°kZ}

     

     

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