高中数学5.3 利用数量积计算长度与角度学案设计

5．2　向量数量积的坐标表示

5．3　利用数量积计算长度与角度

知识点1　平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示

(1)数量积的坐标表示：

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．

(2)模、夹角、垂直的坐标表示：

1.已知向量a＝(－4，7)，向量b＝(5，2)，则a·b的值是(　　)

A．34    B．27    C．－43    D．－6

D　[a·b＝(－4，7)·(5，2)＝－4×5＋7×2＝－6.]

知识点2　平面直角坐标系中两点间的距离公式

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别是A，B，那么a＝(x2－x1，y2－y1).

则|a|＝＝.

如何利用向量知识与方法推导平面直角坐标系中，两点间的距离公式？

[提示]　＝＝.

2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则θ一定是钝角． (　　)

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. (　　)

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

类型1　平面向量数量积的坐标运算

【例1】　已知向量a和b同向，b＝(1，2)，a·b＝10，求：

(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.

[解]　(1)设a＝λb＝(λ，2λ).

∵a·b＝10，

∴λ·cos 0°＝10，解得λ＝2.∴a＝(2，4).

(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.

数量积的坐标运算方法

进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．

1．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，

求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b).

[解]　(1)a·b＝3＋(－1)×(－2)＝5.

(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，

∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝16＋9＝25.

(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(9＋1)－(1＋4)＝5.

类型2　向量的夹角

【例2】　已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．

(1)a与b的夹角为90°；

(2)a与b的夹角为锐角．

由向量的夹角公式，可转化判定a·b的符号．

[解]　(1)a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.

∵a⊥b，∴a·b＝0，

∴1＋2λ＝0，

∴λ＝－.

(2)∵a与b的夹角为锐角，

∴a·b>0且a与b不同向．

因此1＋2λ>0，

∴λ>－.

又∵a与b共线且同向时，λ＝2.

∴a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为∪(2，＋∞).

利用数量积求两向量夹角的步骤

2．设向量＝(1，0)，＝(1，1)，则向量，的夹角为(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[cos θ＝＝＝，

∵θ∈，∴θ＝.]

类型3　向量的模

【例3】　设平面向量a＝(1，1)，b＝(0，2).

求a－2b的坐标和模的大小．

[解]　∵a＝(1，1)，b＝(0，2)，

∴a－2b＝(1，1)－2(0，2)＝(1，－3)，

∴|a－2b|＝＝.

1.已知向量a＝(x，y)求其模，主要利用公式|a|＝求解．

2.形如(ma＋nb)·(ka＋eb)(m，n，k，e∈R)的坐标运算，有两条途径：

其一，先化简再代入，即展开转化为a2，a·b，b2的坐标运算；

其二，先代入再化简，即先求ma＋nb与ka＋eb的坐标，再运算．

3.向量是研究几何的工具，尤其是在解决与平行，垂直，线段的长，角的大小有关的问题时，有非常重要的应用．

3．在△ABC，AB＝3，AC＝5，∠A＝120°，求其中线AD的长．

[解]　依题意，＝(＋)，

所以2＝(2＋2·＋2)，

所以||2＝(||2＋2||·||cos ∠A＋||2)＝(32＋2×3×5×cos 120°＋52)＝，

所以||＝.

即中线AD的长为.

1．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)

A．－4    B．－3    C．－2    D．－1

B　[因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.]

2．(多选题)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　　)

A．|a＋b|＝2  B．a与b垂直

C．a与a－b的夹角为 D．|a－b|＝1

BC　[由a＋b＝(1，－1)两边平方，得|a|2＋|b|2＋2a·b＝12＋(－1)2＝2，则|a＋b|＝，所以A选项错误；因为a，b是单位向量，所以1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，所以B选项正确；由|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b|＝，所以D选项错误；设a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，θ∈[0，π]，所以a与a－b的夹角为，所以C选项正确．故选BC.]

3．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________．

(－4，8)　[由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，

则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，

∴b＝－4a＝(－4，8).]

4．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，则b的坐标为________.

(－4，－10)或(－4，－6)　[∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，

∴5a－b＝(－11，－10－k)，b－3a＝(5，k＋6).

∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)

＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，

∴(k＋10)(k＋6)＝0，∴k＝－10或k＝－6，

∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6).]

5．已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.

(1)|a＋2b|＝________；(2)若(a＋b)·c＝，则向量a与c的夹角为________．

(1)3　(2)　[(1)a＋2b＝(1，2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，

∴|a＋2b|＝＝3.

(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1，2)＝－2a，

∴a＋b＝－a，

∴(a＋b)·c＝－a·c＝.∴a·c＝－.

又|a|＝，|c|＝，

∴cos 〈a，c〉＝＝＝－，又〈a，c〉∈[0，π]，∴〈a，c〉＝.

∴向量a与c的夹角为.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.平面向量数量积的两种不同运算形式的作用是什么？

[提示]　平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．

2.数量积的坐标运算有哪些应用？

[提示]　(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

(2)向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直．