高中北师大版 (2019)2.4 积化和差与和差化积公式导学案

2．4　积化和差与和差化积公式

知识点　积化和差公式与和差化积公式

1.积化和差与和差化积公式中的角都是任意角吗？

[提示]　都是任意角．

2．“sin α－sin β＝2cos sin ”正确吗？

[提示]　不正确．sin α－sin β＝2cos sin .

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)sin (A＋B)＋sin (A－B)＝2sin A cos B． (　　)

(2)sin (A＋B)－sin (A－B)＝2cos A sin B． (　　)

(3)cos (A＋B)＋cos (A－B)＝2cos A cos B． (　　)

(4)cos (A＋B)－cos (A－B)＝2sin A cos B． (　　)

[提示]　(1)正确；(2)正确；(3)正确；(4)错误，cos (A＋B)－cos (A－B)＝－2sin A sin B.

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

2.sin 75°－sin 15°的值为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．－

B　[sin 75°－sin 15°＝2cos 45°sin 30°＝2××＝，故选B.]

类型1　利用积化和差与和差化积公式求值

【例1】　求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.

[解]　sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°

＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)

＝－sin 50°＋cos 40°

＝－sin 50°＋sin 50°＝.

套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．

1．求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°.

[解]　原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°)

＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋－cos 20°＝.

类型2　利用积化和差与和差化积公式证明三角恒等式

【例2】　求证：tan －tan ＝.

1．证明三角恒等式的基本原则是什么？

[提示]　证明三角恒等式的基本原则是化繁为简，即由较为复杂的一边向较简单的一边证明，注意观察等号两边的函数名和结构形式的差异，利用三角函数公式进行转化．

2．在三角函数公式中“弦”和“切”如何互化？

[提示]　利用公式tan x＝可实现“弦”和“切”的互化．

3．思路一：从等号左边向等号右边证明，把切化为弦，通分后利用和差化积与积化和差公式变形可得；

思路二：从等号右边向等号左边证明，利用和差化积与积化和差公式变形，然后把弦化为切可得．

[证明]　法一：∵tan －tan ＝－

＝＝

＝＝

＝.

∴原式成立．

法二：∵

＝

＝

＝－

＝tan －tan .

∴原式成立．

(1)证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值．(2)证明三角恒等式总体要求是：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密．

2．证明：＝.

[证明]　原式＝

＝

＝＝＝.

∴原式成立．

1．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则sin αcos β＝(　　)

A．    B．    C．    D．

C　[sin αcos β＝sin (α＋β)＋sin (α－β)＝×＋×＝.]

2．化简的结果为(　　)

A．tan α     B．tan 2α

C．     D．

B　[原式＝＝tan 2α.]

3．在△ABC中，若sin A sin B＝cos2，则△ABC是(　　)

A．等边三角形     B．等腰三角形

C．不等边三角形     D．直角三角形

B　[由sinA sin B＝cos2，得cos(A－B)－cos (A＋B)＝(cos C＋1)，

∴cos (A－B)＋cos C＝＋cos C，

即cos (A－B)＝1，

∴A－B＝0，即A＝B.

∴△ABC是等腰三角形．]

4．sin 37.5° cos 7.5°等于(　　)

A．     B．

C．   D．

C　[sin 37.5 °cos 7.5°＝[sin (37.5°＋7.5°)＋sin (37.5°－7.5°)]

＝(sin 45°＋sin 30°)＝×＝.故选C.]

5．函数y＝sin sin 的最小正周期为________．

π　[f(x)＝sin cos x

＝

＝sin ＋，

∴最小正周期T＝＝π.]