北师大版 (2019)必修 第二册5.2 余弦函数的图象与性质再认识学案及答案

5．2　余弦函数的图象与性质再认识

知识点　余弦函数的图象与性质

1.如何由y＝sin x，x∈R的图象得到y＝cos x，x∈R的图象？

[提示]　只需将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位即可得到y＝cos x，x∈R的图象．

2．余弦曲线对称轴与对称中心分别是什么？

[提示]　余弦曲线与正弦曲线一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是x＝kπ，k∈Z；它的对称中心有无数个，其坐标为，k∈Z.

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)y＝cos 的最小正周期为2π. (　　)

(2)函数y＝－cos x在区间[0，π]上是增函数． (　　)

(3)函数y＝sin 是奇函数．  (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

类型1　“五点法”作图

【例1】　(教材北师版P34例4改编)画出函数y＝1－cos x，x∈的图象．

[解]　按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来

如图所示：

1.画余弦函数的图象，与画正弦函数图象的方法一样，关键要确定五个关键点．这五个点的坐标是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).

2.形如y＝a cos x＋b，x∈的函数，也可由五点法画图象．

1．用“五点法”画出y＝3＋2cos x，x∈的图象．

[解]　(1)列表

(2)描点，连线，如图所示：

类型2　余弦函数的单调性及其应用

【例2】　(1)求函数y＝3－cos x的单调增区间；

(2)(教材北师版P37练习2改编)比较大小：cos ________cos .

(1)y＝3－cos x的单调性与y＝－cos x的单调性一致，与y＝cos x的单调性相反；(2)利用诱导公式转化到同一单调区间上来比较大小．

(1)[解]　由于y＝cos x的单调减区间为，k∈Z，

所以函数y＝3－cos x的单调增区间为，k∈Z.

(2)<　[由于cos π＝cos ＝cos ，

cos ＝cos ，

又∵<，而y＝cos x在上单调递减，

∴cos >cos ，即cos <cos .]

1.形如y＝a cos x＋b(a≠0)函数的单调区间

(1)当a>0时，其单调性同y＝cos x的单调性一致；

(2)当a<0时，其单调性同y＝cos x的单调性恰好相反．

2.比较cos α与cos β的大小时，可利用诱导公式化为内的余弦函数值来进行比较．

2．求函数y＝cos 2x的单调增区间．

[解]　由于y＝cos x的递增区间为，k∈Z，

由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，

因此，y＝cos 2x的单调增区间为，k∈Z.

3．已知x∈[0，π]，f(x)＝sin (cos x)的最大值为a，最小值为b，g(x)＝cos (sin x)的最大值为c，最小值为d.试判断a、b、c、d的大小关系．

[解]　∵x∈[0，π]，∴cos x∈[－1，1]，sin x∈[0，1].

∵当t∈时，函数y＝sin t单调递增，且[－1，1]⊆.

∴当t∈[－1，1]时，函数y＝sin t单调递增．

∴当cos x＝－1时，f(x)取最小值b＝sin (－1)

＝－sin 1；当cos x＝1时，f(x)取最大值a＝sin 1.

同理根据函数y＝cos t在[0，π]上单调递减．

当sin x＝0时，g(x)取最大值c＝cos 0＝1；

当sin x＝1时，g(x)取最小值d＝cos 1.

又∵＜1＜，

∴sin 1＞cos 1＞0.

∴－sin 1＜0＜cos 1＜sin 1＜1，即b＜d＜a＜c.

类型3　与余弦函数有关的值域或最值问题

【例3】　求下列函数的最大值和最小值．

(1)y＝－3cos x＋1；

(2)y＝－3.

对(1)可利用余弦函数本身的范围及一次函数的单调性求解，对(2)可考虑利用二次函数的单调性求解．

[解]　(1)令t＝cos x，则t∈，

又因为一次函数y＝－3t＋1是单调递减函数，

所以，当t＝－1时，ymax＝4；当t＝1时，ymin＝－2.

(2)令t＝cos x，则t∈，

所以，函数y＝－3，

当t＝时，ymin＝－3；当t＝－1时，ymax＝－.

1.形如y＝a cos x＋b的三角函数的最值问题，主要是利用cos x的有界性即－1≤cos x≤1求解．

2.与cos x有关的函数的最值问题，常用换元法．

4．求下列函数的值域：

(1)y＝2cos ，x∈；

(2)y＝cos2x－3cosx＋2.

[解]　(1)∵－<x<，

∴0<2x＋<.

∴－<cos <1.

∴y＝2cos ，x∈的值域为(－1，2).

(2)令t＝cos x，

∵x∈R，

∴t∈[－1，1].

∴原函数化为y＝t2－3t＋2＝－.

∴二次函数图象开口向上，直线t＝为对称轴．

∴t∈[－1，1]为函数的单调减区间．

∴t＝－1时，ymax＝6；t＝1时，ymin＝0.

∴值域为[0，6].

1．函数y＝cos x，x∈R的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　)

A．－sin x     B．sin x

C．－cos x     D．cos x

A　[依题意知，g(x)＝cos ＝－sin x，故选A.]

2．函数y＝－cos x，x∈R是(　　)

A．最小正周期为π的偶函数

B．最小正周期为π的奇函数

C．最小正周期为2π的偶函数

D．最小正周期为2π的奇函数

C　[由于y＝－cos x的图象与y＝cos x的图象关于x轴对称，

所以y＝－cos x的周期与y＝cos x的周期相同，且图象仍关于y轴对称，所以是偶函数，故选C.]

3．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是(　　)

A．2，－2    B．1，－3    C．1，－1    D．2，－1

B　[∵－1≤cos x≤1，

∴－2≤2cos x≤2，

∴－3≤2cos x－1≤1，

∴最大值为1，最小值为－3.]

4．若cos x＝，且x∈R，则m的取值范围是________．

(－∞，－3]∪　[＝|cos x|≤1，解得m≤－3或m≥－.]

5．设函数f(x)＝cos x＋1，若f＝11，则f＝________．

－9　[令g(x)＝f(x)－1＝cos x，则g(x)为定义在R上的奇函数．

又∵f＝11，∴g＝f－1＝10，

∴g＝－g＝－10，

∴f＝g＋1＝－9.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何比较三角函数值的大小？

[提示]　比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．

2.如何求三角函数的值域或最值？

[提示]　求三角函数值域或最值的常用求法

(1)将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方，或利用函数的单调性等来确定y的范围．

(2)将sin x或cos x用所求变量y来表示，如sin x＝f(y)，再由|sin x|≤1，构建关于y的不等式|f(y)|≤1，从而求得y的取值范围．