高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化学案

§1　周期变化

知识点1　周期函数的概念

一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．

1.(1)是否所有的函数都是周期函数？

(2)周期函数的周期唯一吗？

[提示]　(1)不是，如y＝x＋1就不是周期函数．

(2)周期函数的周期不唯一，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f(x)的周期．

知识点2　最小正周期

如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．

2.(1)为什么规定T非零？

(2)常函数f(x)＝c，x∈R是周期函数吗？若是，其周期是什么？

[提示]　(1)T若为零，则任意函数都是周期函数．

(2)是周期函数，其周期是任意非零实数．

某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了______个周期．

10　[4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．]

类型1　周期现象

【例1】　水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？

[解]　因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，

所以1小时内水车转12圈．

又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，

所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，

所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升).

1.周期现象的判断

首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．

2.收集数据、画散点图，分析数据特点，能直观地发现函数的周期性．

1．利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？

[解]　设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，

所以y＝×160＝32x，

为使水车盛800升的水，则有32x≥800，

所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．

类型2　周期函数

【例2】　(教材北师版P3例3改编)已知函数f(x)满足f(x)f＝13，求证：f(x)是周期函数．

1．若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f＝－f(x)，则f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？

[提示]　由已知得，f＝－f＝－＝f(x)，根据周期函数的定义，f(x)是以2a为一个周期的周期函数．

2．若存在非零常数a，使函数f(x)在定义域上满足：f＝，则f(x)是周期函数吗？若是，其周期是什么？

[提示]　由已知得，f＝＝＝f(x)，根据周期函数的定义，f(x)是以2a为一个周期的周期函数．

[证明]　由已知得f＝，

所以f＝＝＝f(x).

所以f(x)是周期函数，4是它的一个周期．

判定一个函数是周期函数需分两步

(1)先猜想出其周期；

(2)用周期函数的定义证之．

2．已知函数f(x)满足f＝，求证：f(x)是周期函数．

[证明]　由已知得，f＝＝＝＝－.

所以f＝－＝－＝f(x).

所以f(x)是周期函数，4是它的一个周期．

类型3　周期函数的应用

【例3】　(教材北师版P2例2改编)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；

(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调递增(或减)区间．

第(1)问，先求函数f(x)的周期，再求f的值；

第(2)问，推断函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；

第(3)问，观察图象写出．

[解]　 (1)由f＝－f(x)，得f＝－f＝－＝f(x)，

所以f(x)是以4为周期的周期函数，

∴f＝f＝f＝－f＝－＝π－4.

(2)由f(x)是奇函数与f＝－f(x)，

得f＝－f＝f，

即f＝f.

故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△ OAB＝4×＝4.

(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1，4k＋1](k∈Z)，单调递减区间为[4k＋1，4k＋3](k∈Z).

研究周期函数时，通常先研究其在一个周期上的性质，然后把它拓展到定义域上，这样可简化对函数的研究．

3．(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f＝f(x)，则f(2)＝(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为(　　)

A．6    B．7    C．8    D．9

(1)A　(2)B　[(1)由题意，f(x)为周期函数且周期为4，

∴f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，

又f(－2)＝－f(2)，

则f(2)＝－f(2)，

所以f(2)＝0.

(2)当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，

又f(x)的最小正周期为2，

∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，

∴y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7.]

1．下列变化中，不是周期现象的是(　　)

A．“春去春又回”

B．钟表的分针的运行

C．天干地支表示年、月、日的时间顺序

D．某同学每天上学的时间

D　[由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化．故选D.]

2．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f＝(　　)

A.1　　　　B．0　　　　C．－1　　　　D．2

A　[由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，

所以f＝f＝f，

而由图象可知f(1)＝1，

所以f＝1.]

3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的 x∈R都有f＝f(x)＋f，f(1)＝ 4，则f＋f的值为________．

4　[由题意可知f＝f(x)＋f，

令x＝－2，可求得f＝0，

又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f＝0，即f＝f(x)，

所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f＝4，

所以f＋f＝f＋f＝f＋0＝4.]

4．若f(x)是以为周期的函数，且f()＝1，则f(－)＝________．

1　[f(－)＝f(－2×)＝f()＝1.]

5．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s，第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间可能是________s.

1.4　[质点从O点向左运动，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O与O→M用时相同，因此质点运动半周期＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M时用时应为M→O→B→O→M，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s).]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.周期函数的定义是什么？如何判断f(x)是周期函数？

[提示]　一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么y＝f(x)称作周期函数，利用周期函数的定义及一些常用的结论判断．

2.周期函数的定义域有什么特点？

[提示]　设周期为T的函数的定义域为M，则x∈M，则必有x＋nT∈M(且n∈Z且n≠0)，因此周期函数的定义域一定是无限集．