高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 正弦函数的图象与性质再认识学案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 正弦函数的图象与性质再认识学案设计，共8页。
§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识5．1　正弦函数的图象与性质再认识学 习 任 务核 心 素 养1．能用“五点法”画正弦函数在[0，2π]上的图象．(重点)2．理解正弦曲线的意义．(难点)3．掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期，单调区间和最值．(难点)1．通过画正弦函数的图象，培养直观想象素养．2．通过正弦函数性质的应用，培养数学运算素养． 同学们坐过摩天轮吗？图片中展示的是被誉为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造桥轮合一的摩天轮，非常壮观！来到摩天轮前，我们会很自然的想到一些现实中的问题：我们登上摩天轮转一圈需要多久？我们转到什么位置能俯瞰整个天津市？知识点1　正弦函数的图象在函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的有五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．我们称这种作正弦曲线的方法为“五点法”．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝sin x在[0，2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同．  (　　)(2)函数y＝sin x的图象介于直线y＝－1和y＝1之间． (　　)(3)函数y＝sin x的图象关于x轴对称． (　　)(4)用“五点法”画函数y＝sin x在区间[－π，π]上的简图时，是其中的一个关键点．  (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√知识点2　正弦函数y＝sin x的性质函数y＝sin x定义域R值域[－1，1]奇偶性奇函数周期性周期函数，T＝2π单调性在(k∈Z)上是单调递增的；在(k∈Z)上是单调递减的最值当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1正弦曲线有对称轴和对称中心吗？分别有多少个？[提示]　正弦函数曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．函数y＝sin x(x∈R)的对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)，有无数条；对称中心是点(kπ，0)(k∈Z)，有无穷多个．2.函数y＝sin 取得最大值的x的集合是________．　[当且仅当x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，y＝sin 取最大值．故x的集合为.] 类型1　“五点法”作图【例1】　(教材北师版P30例2改编)用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象. [解]　(1)列表：x0π2πsin x010－101－sin x10121(2)描点、连线，图象如图．1.令x分别取，然后求出相应的y值，便得到决定图象特征的五个关键点．2.五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．1．作出函数y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图．[解]　列表：x0π2πsin x010－10－sin x0－1010描点并用光滑的曲线连接起来，如图． 类型2　利用正弦函数图象解不等式【例2】　利用y＝sin x的图象，在[0，2π]内求满足sin x≥－的x的取值范围．画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象， 作出直线y＝－的图象，直线上方图象符合题意．[解]　列表：x0π2πsin x010－10描点，连线如图，同时作出直线y＝－的图象．由图象可得sin x≥－的x的取值范围为[0，]∪[，2π].用三角函数图象解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数在[0，2π]上的图象；(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；(3)根据所给条件写出不等式的解集．2．利用正弦曲线，求满足<sin x≤ 的x的集合．[解]　首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.观察图象可知，在[0，2π]上，当<x≤ 或 ≤x<时，不等式<sin x≤ 成立．所以<sin x≤ 的解集为{x<x≤2kπ＋或2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z}． 类型3　正弦函数性质及应用角度一　最值与值域问题【例3】　求下列函数的值域．(1)y＝2－sin x；(2)y＝sin2x－4sinx＋5，x∈.[解]　(1)由正弦函数y＝sin x的值域为[－1，1].得函数y＝2－sin x的值域为[1，3].(2)令t＝sin x，由x∈，得0≤t≤1.y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1.当t＝0，即sin x＝0时，最大值为5，当t＝1，即sin x＝1时，最小值为2.∴该函数的值域是[2，5].1.对于形如y＝a sin x＋b的函数的值域，可以利用正弦函数图象或有界性直接解决．2.对于形如y＝的函数的值域，可令t＝sin x，将其转化为y＝的形式，再求其值域，但需要考虑t的范围．3．函数y＝lg sin x的值域是________．(－∞，0]　[∵0<sin x≤1，∴y＝lg sin x≤0.∴函数y＝lg sin x的值域为(－∞，0].]角度二　奇偶性问题【例4】　判断函数f(x)＝lg 的奇偶性．[解]　由题意得，－1<sin x<1，所以其定义域为.又f＝lg ＝lg ＝－lg ＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．判断函数奇偶性的方法4．判断函数f(x)＝的奇偶性．[解]　函数的定义域为，又f＝＝＝＝f(x).所以，函数f(x)是偶函数．角度三　单调性及其应用【例5】　(教材北师版P29例1改编)(1)比较sin 与sin 的大小；(2)求函数y＝2sin (－x)的单调递增区间．[解]　(1)∵sin ＝－sin π，sin ＝－sin ＝－sin π，由于<π<π<π，且y＝sin x在上单调递减，∴sin π>sin π，∴－sin π<－sin π，即sin <sin .(2)∵y＝2sin ＝－2sin x，∴函数y＝2sin (－x)的递增区间就是函数u＝2sin x的递减区间．∴函数y＝2sin (－x)的的单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋].1.比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助正弦函数的单调性进行比较．2.比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin 后，再依据单调性进行比较．3.当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助图象或值的符号比较．5．比较sin 194°与cos 110°的大小．[解]　∵sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，cos 110°＝cos (180°－70°)＝－cos 70°＝－sin (90°－70°)＝－sin 20°，由于0°<14°<20°<90°，而y＝sin x在[0°，90°]上单调递增，∴sin 14°<sin 20°，∴－sin 14°>－sin 20°，即sin 194°>cos 110°.6．求函数y＝2sin x的单调区间．[解]　y＝2sin x的单调性与y＝sin x的单调性相同．∴y＝2sin x的单调递增区间是，单调递减区间是．1．用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列不是关键点的是(　　)A．    B．    C．(π，0)   D．(2π，0)[答案]　A2．函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　DD　[函数y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D.]3．函数y＝的图象是(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　DC　[由y＝＝|sin x|，知该函数为偶函数，当sin x≥0时，y＝sin x，当sin x＜0时，y＝－sin x，作x≥0时y＝sin x的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，再关于y轴对称即作出y＝|sin x|的图象．]4．在[0，2π]上，满足sin x≥ 的x的取值范围为________．　[结合图象可知为.]5．已知y＝a＋b sin x的最大值是，最小值是－，则a＝________，b＝________．　±1　[由 ，得a＝，b＝±1.],回顾本节内容，自我完成以下问题：1.函数y＝A sin (ωx＋φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数？正弦函数在其定义域上是单调函数吗？[提示]　据诱导公式，当φ＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，当φ＝kπ，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)为奇函数．,正弦函数有单调区间，但不是定义域上的单调函数，即正弦函数在整个定义域内不单调．2.正弦函数的最值与周期性之间有怎样的联系？[提示]　由正弦函数的图象可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期T，相邻最大值与最小值之间的区间长度为，相邻最值点与零点之间的区间长度为．,