数学必修 第二册4.2 平面向量及运算的坐标表示学案

4．2　平面向量及运算的坐标表示

知识点1　平面向量的坐标表示

如图在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.因此，a＝xi＋yj.我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)．

1.若i，j分别是与x轴，y轴同方向的单位向量，则i，j的坐标分别是什么？

[提示]　在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1).

2.相等向量的坐标相同吗？

[提示]　相等向量经过平移可以具有共同的始点O(O为坐标原点)，这时其终点相同，而终点的坐标即是这些向量的坐标，所以相同．

知识点2　平面向量的坐标运算

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2).

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)相等向量的坐标相等．  (　　)

(2)在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x1－x2，y1－y2).  (　　)

(3)与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i＝(1，0)，j＝(0，1).

  (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√

2.设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b等于(　　)

A．(7，3)   B．(7，7)   C．(1，7)   D．(1，3)

[答案]　A

知识点3　中点坐标公式

若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段AB的中点坐标公式．

知识点4　平面向量平行的坐标表示

(1)设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.若a∥b，则存在实数λ，使得a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0．

若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝.

(2)文字语言描述向量平行的坐标表示

定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例．

定理2：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．

3.已知a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝______．

－3　[因为a∥b，所以2λ－6×(－1)＝0，即λ＝－3.]

类型1　平面向量的坐标表示

【例1】　(教材北师版P96例3改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．

(1)求向量a，b的坐标；

(2)求向量的坐标；

(3)求点B的坐标．

[解]　(1)作AM⊥x轴于点M，

则OM＝OA·cos 45°＝4× ＝2，AM＝OA·sin 45°＝4× ＝2.

∴A(2，2)，故a＝(2，2).

∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，

∴∠COy＝30°.

又∵OC＝AB＝3，∴C，

∴＝＝，即b＝.

(2)＝－＝.

(3)＝＋＝(2，2)＋＝.

在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标．一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围．

1.在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．

[解]　设点A(x，y)，B(x0，y0)，

∵|a|＝2，且∠AOx＝45°.

∴x＝2cos 45°＝，且y＝2sin 45°＝.

又∵|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°.

∴x0＝3cos 120°＝－，y0＝3sin 120°＝.

故a＝＝(，)，

b＝＝.

类型2　平面向量线性运算的坐标表示

【例2】　(教材北师版P98例5改编)已知点A、B、C的坐标分别为A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10).求向量＋2－的坐标．

由A、B、C三点的坐标，求出、、的坐标，再利用向量的加法，减法，数乘的坐标运算求解．

[解]　由A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)得，

＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，

∴＋2－＝(－2，10)＋2(－8，4)－(－10，14)＝(－2，10)＋(－16，8)－(－5，7)

＝(－18，18)－(－5，7)＝(－13，11).

向量坐标运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．

2．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．

[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).

(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，

∴解得

类型3　平面向量共线的坐标表示及应用

【例3】　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)

A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)

B．a＝(2，3)，b＝(3，2)

C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)

D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)

(2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？

(1)D　[A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不共线；

B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不共线；

C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不共线；

D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，

∴a∥b，故选D.]

(2)[解]　ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，

a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，

∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.

解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解．

3．平面内给定三个向量a＝(1，3)，b＝(2，－1)，c＝(2，4)，若(a－kc)∥(2b－a)，求实数k.

[解]　∵a－kc＝(1－2k，3－4k)，2b－a＝(3，－5)，(a－kc)∥(2b－a)，

∴(－5)·(1－2k)－3(3－4k)＝0，

∴k＝.

1．若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则＝(　　)

A．(4，6)    B．(－4，－6)

C．(－2，－2)    D．(2，2)

A　[＝＋＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6).]

2．(多选题)以A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标是(　　)

A．(2，3)    B．(2，－1)

C．(4，1)    D．(－2，－1)

ACD　[设D(x，y)，若＝，则(1，－1)＝(x－3，y－2)，即解得即D(4，1)；若＝，则(1，－1)＝(3－x，2－y)，即解得即D(2，3)；若＝，则(－2，－2)＝(x，y－1)，即解得即D(－2，－1).故选ACD.]

3．如果向量a＝(k，－4)，b＝(－1，k)共线且方向相同，则k＝________．

－2　[∵a∥b，∴k2－4＝0，即k＝±2，

又∵两个向量方向相同，∴k＝－2.]

4．已知A(1，2)，B(4，5).若＝2，则点P的坐标为________.

(3，4)　[设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x，5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，

即

解得]

5．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________．

　[建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，

则可得a＝(1，2)，b＝(2，－3)，c＝(3，4).

∵c＝xa＋yb，∴

解得因此x＋y＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.点的坐标与向量的坐标有什么联系与区别？

[提示]　(1)区别：①表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)；

②意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向．

(2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同．

2.如何判断两个向量共线？

[提示]　向量共线的判定方法

(1)利用共线(平行)向量基本定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b；

(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．