2021_2022学年新教材高中数学全书要点速记学案含解析新人教B版必修第二册

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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修第二册全册综合导学案及答案，共11页。

全书要点速记

(教师独具)

第四章　指数函数、对数函数与幂函数

要点1　指数与指数函数

根式的性质	(1)()n＝a(n∈N＋，且n＞1)． (2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝\|a\|＝
分数指数幂的意义	对于一般的正分数，a＝()m＝. a－s＝(s是正分数，as有意义且a≠0)． 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义
实数指数幂的运算法则	asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs，s，t均为有理数
指数函数的图像和性质	底数		a＞1	0＜a＜1
	图像
	性质	定义域	R
		值域	(0，＋∞)
		定点	图像过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
		单调性	增函数	减函数
		函数值的变化情况	当x＞0时，y＞1，当x＜0时，0＜y＜1	当x＞0时，0＜y＜1，当x＜0时，y＞1

要点2　对数与对数函数

指数式与对数式的互化
对数运算法则	(1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM
换底公式	logab＝
几个常用推论	(1)logac·logca＝1； (2)logab·logbc·logca＝1； (3)logambn＝logab
对数函数的图像和性质	底数		a＞1	0＜a＜1
	图像
	性质	定义域	(0，＋∞)
		值域	R
		定点	图像过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
		单调性	增函数	减函数
		奇偶性	非奇非偶函数
指数函数与对数函数的关系	互为反函数，y＝ax与y＝logax的图像关于直线y＝x对称

要点3　幂函数

1．五个常见幂函数的图像

五个常见幂函数的图像
五个常见幂函数的性质	函数	y＝x	y＝x2	y＝x3	y＝x	y＝x－1
	定义域	R	R	R	[0，＋∞)	(－∞，0)∪(0，＋∞)
	值域	R	[0，＋∞)	R	[0，＋∞)	(－∞，0) ∪(0，＋∞)
	奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数	非奇非偶函数	奇函数
	单调性	在R上为增函数	在[0，＋∞)上是增函数；在(－∞，0]上是减函数	在R上为增函数	在[0，＋∞)上是增函数	在(0，＋∞)上是减函数；在(－∞，0)上是减函数

2.指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较

函数性质	y＝ax(a＞1)	y＝logax(a＞1)	y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的单调性	单调递增，且a越大，增长越快	单调递增，且a越小，增长越快	单调递增，且x＞1时，n越大增长越快
增长速度	越来越快	越来越慢	越来越快
图像的变化	随x的增大图像越来越陡	随x的增大图像逐渐变平缓	图像走势与n值有关

要点4　实数的大小比较

将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．

特别地，比较幂值的大小，有以下三种思路：

(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；

(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；

(3)若指数与底数都不相同，则考虑借助中间量．

第五章　统计与概率

要点1　抽样方法

1．抽样方法的比较

抽签法的步骤
随机数表法的步骤
分层抽样的步骤

2.分层抽样中抽样比的两个关系式

(1)＝；

(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．

要点2　数据的数字特征

数字特征	理解关键点
最值	一组数据中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况
平均数	＝(x1＋x2＋…＋xn)＝xi，平均数受个别极端的数据影响较大
中位数	表示一组数的中心位置
百分位数	一组数的p%分位数指的是，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数
众数	出现次数最多的数据
极差	这组数的最大值减去最小值所得的差
方差	s2＝(xi－)2
标准差	s＝

说明：中位数、众数分别反映了数据的中等水平、多数水平，平均数反映了数据的平均水平，方差、标准差反映了数据的离散程度．运用数字特征进行评价时，应从平均数、众数、中位数、方差、极差等多个角度对这组数据进行分析，全面考虑各数字特征的优缺点，从不同层面或两两综合进行评价，才能作出较为可靠的决策．

平均数的计算方法	定义法	当所给数据x1，x2，…，xn比较小，又比较分散时，一般选用公式＝xi来计算
	新数据法	当所给的一组数据都在某一常数a的附近波动时，一般选用简单化公式xi＝a＋xi′，其中常数a通常取接近于这组数据的平均数的较“整”的数，先计算＝x′i＝ (xi－a)，则＝a＋
	频数平均数法	在给定的n个数据中，如果x1出现了f1次，x2出现了f2次，…，xk出现了fk次，则一般选用＝xifi(其中fi＝n)来计算平均数
方差的计算方法	定义法	s2＝ (xi－)2
	简化法	s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]
	频数方差法	如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次，则可用公式s2＝[(f1x＋f2x＋…＋fkx)－n2](其中fi＝n)计算方差
线性关系下的平均数与方差	若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系式yi＝axi＋b，且数据x1，x2，…，xn的平均数、方差和标准差分别为，s2和s，那么y1，y2，…，yn的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为\|a\|s. 特别地，若yi＝xi±b，则y1，y2，…，yn的平均数和方差分别为±b和s2；若yi＝kxi，则y1，y2，…，yn的平均数和方差分别为k和k2s2
分层抽样的数字特征	我们以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，平均数为，方差为t2.如果记样本均值为，样本方差为b2，则＝(xi＋yi)＝， b2＝＝[(ms2＋nt2)＋(－)2]
频率分布直方图中的数字特征	平均数	用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积(该小组的频率)的乘积之和近似代替平均数
频率分布直方图中的数字特征	中位数	根据中位数左边和右边的直方图的面积相等列式求中位数
频率分布直方图中的数字特征	众数	可以用最高小矩形底边中点的横坐标来近似代替众数
频率分布直方图中的数字特征	百分位数	根据p%分位数左侧小矩形的面积之和为p%求百分位数

要点3　统计图表

1．柱形图、折线图、扇形图

	柱形图(条形图)	折线图	扇形图
特点	一般地，柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的	用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化	扇形图(也称为饼图、饼形图)中圆代表总体，不同的颜色或条纹表示的扇形代表总体中的不同部分，各个部分所占百分比之和为1
作用及选用情景	能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小	能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少．常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中	可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况
图例

2.频数分布直方图与频率分布直方图

	频数分布直方图	频率分布直方图
图例
制作步骤	第一步	找出最值，计算极差
	第二步	合理分组，确定区间
	第三步	整理数据
	第四步	作出有关图示
频率分布直方图的理解	(1)每个小矩形的面积＝组距×＝频率； (2)各小矩形的面积的总和等于1； (3)＝频率； (4)各小矩形的面积之比等于频率之比，各小矩形的高度之比也等于频率之比

要点4　概率

事件的分类	随机事件		可能发生也可能不发生的事件
	必然事件		一定发生的事件
	不可能事件		一定不发生的事件
概率的性质	(1)不可能事件∅发生的概率为P(∅)＝0，必然事件Ω发生的概率为P(Ω)＝1． (2)任意事件A的概率满足不等式0≤P(A)≤1
事件的和(并) 与事件的积(交)		事件的和(并)			事件的积(交)
	定义	给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)			给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)
	符号	记作A＋B(或A∪B)			记作AB(或A∩B)
	图示
事件的互斥与对立		互斥事件			对立事件
	定义	给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥			给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件
	符号	记作AB＝∅ (或A∩B＝∅)			记作
	图示
	概率公式	当A与B互斥(即AB＝∅)时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式			每次随机试验，在事件A与中，有一个发生，而且只有一个发生．注意到必然事件的概率为1，因此P(A)＋P()＝1
	联系	(1)如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件． (2)对立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B是对立事件，则A＋B是必然事件
从集合观点看事件间的关系	符合	概率角度		集合角度
	Ω	必然事件		全集
	∅	不可能事件		空集
	ω	试验的可能结果		Ω中的元素
	A	事件		Ω的子集
		A的对立事件		A的补集
	A⊆B	事件A包含于事件B		集合A是集合B的子集
	A＝B	事件A等于事件B		集合A等于集合B
	A＋B (或A ∪B)	事件A与事件B的和(并)事件		集合A与集合B的交集
	AB (或A ∩B)	事件A与事件B的积(交)事件		集合A与集合B的交集
	AB ＝∅	事件A与事件B互斥		集合A与集合B的交集为空集
	AB＝ ∅且 A＋B ＝Ω	事件A与事件B对立		集合A与集合B互为补集
古典概型	特征	(1)有限性：随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的． (2)等可能性：每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等
	公式	假设样本空间含有n个样本点，若事件C包含有m个样本点，则P(C)＝
	求解步骤
随机事件的独立性	一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立)．事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率

第六章　平面向量初步

要点　向量

向量的概念	一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度)
图形	三角形法则	平行四边形法则
特殊向量	零向量	始点和终点相同的向量称为零向量
	非零向量	模不为0的向量通常称为非零向量
	单位向量	模等于1的向量称为单位向量
相等向量	一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量
平行 (共线) 向量	如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行．两个向量a和b平行，记作a∥b.两个向量平行也称为两个向量共线
数乘向量	一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为\|λ\|\|a\|，而且λa的方向如下： ①当λ＞0时，与a的方向相同； ②当λ＜0时，与a的方向相反. (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0
运算律	(1)a＋b＝b＋a；(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)λ(μa)＝(λμ)a；(4)λa＋μa＝(λ＋μ)a； (5)λ(a＋b)＝λa＋λb
共线向量基本定理	如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa
平面向量基本定理	如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb
坐标运算	如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2). 类似地，可以得出，如果u，v是两个实数，那么ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)，ua－vb＝(ux1－vx2，uy1－vy2)
常用公式	(1)向量的模：如果向量a＝(x，y)，则\|a\|＝. (2)两点间距离：设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则 AB＝\|\|＝. (3)中点坐标公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，线段AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝. (4)向量平行的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2