高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算导学案

6.2.3　平面向量的坐标及其运算

知识点1　平面向量的坐标

1．向量的正交分解

2．向量的坐标

(1)定义：

一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．

(2)意义：

设点A的坐标为(x，y)，则＝(x，y)．符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．

知识点2　平面上向量的运算与坐标的关系

注：平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等．

1．已知点A(1，－3)，的坐标为(3,7)，则点B的坐标为(　　)

A．(4,4)　　　 B．(－2,4)

C．(2,10) D．(－2，－10)

A　[设点B的坐标为(x，y)，由＝(3,7)＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)＝(3,7)，得B(4,4)．]

2.已知a＝(1，－1)，b＝(3,0)，则3a－2b等于(　　)

A．(5,3) B．(4，－1)

C．(－2，－1) D．(－3，－3)

D　[3a－2b＝3(1，－1)－2(3,0)＝(3，－3)－(6,0)＝(－3，－3)．]

知识点3　平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式

平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式||＝，

AB的中点坐标公式

3.已知平面直角坐标系内的两点A(－1,2)，B(2,6)，则AB＝________；若AB的中点为M，则M的坐标为________．

5　　[AB＝＝5.设M(x，y)，则x＝＝，y＝＝4.]

知识点4　向量平行的坐标表示

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果向量b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔＝.

4.已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　)

A．不共线　　　 B．共线

C．相等 D．不确定

B　[∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，∴a＋b与c共线．]

5.已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　)

A．－9 B．9 

C．3　　　　D．－3

B　[由a∥b，得－6×(－3)＝2m，∴m＝9.]

类型1　平面向量的坐标表示

【例1】　(1)如图所示，若向量e1，e2是一组单位正交向量，则向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为(　　)

A．(3,4)

B．(2,4)

C．(3,4)或(4,3)

D．(4,2)或(2,4)

(2)如图，在直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．

①求向量a，b的坐标；

②求向量的坐标；

③求点B的坐标．

[思路探究]　(1)借助平面向量的正交分解直接求解．

(2)①由OA＝4，∠AOx＝45°可求出点A的坐标，从而求出a的坐标，再由∠OAB＝105°，得出∠COy，进而得点C的坐标，根据＝得出b的坐标．

②由①中b的坐标及b与的关系得出的坐标．

③可借助＝＋求出点B的坐标．

(1)A　[以向量a，b公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系，因为e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，

所以2a＝(2,1)，b＝(1,3)，

所以2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)，故选A．]

(2)[解]　①作AM⊥x轴于点M(图略)，

则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，

AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，

所以A(2，2)．故a＝(2，2)．

因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，

所以∠COy＝30°.

又OC＝AB＝3，所以C，

所以＝＝，即b＝.

②由①知＝－＝－b＝.

③＝＋＝(2，2)＋

＝，

所以点B的坐标为.

求向量坐标的三个步骤

1．(1)已知{e1，e2}为单位正交基底且a＝3e1＋4e2，b＝－3e1，则a，b的坐标分别为________．

(2)如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝__________；＝________.

(1)(3,4)，(－3,0)　(2)(1，－1)　(1,1)　(－1,1)　[(1)由平面向量坐标的定义知a＝(3,4)，b＝(－3,0)．

(2)由题意知，＝－＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以＝(1，－1)，同理＝(－1,1)．]

类型2　平面向量的坐标运算

【例2】　(1)设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则＝(　　)

A．(1＋m,7＋n)　　 B．(－1－m，－7－n)

C．(1－m,7－n) D．(－1＋m ，－7＋n)

(2)已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　)

A． B．

C． D．(8,1)

(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋2，－的坐标．

[思路探究]　(1)可利用向量加法的三角形法则将分解为＋＋来求解．

(2)可借助＝－来求坐标．

(3)可利用＝(xB－xA，yB－yA)来求解．

(1)B　(2)A　[(1)＝＋＋

＝－－－

＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)

＝(－1－m，－7－n)．

(2)A＝(－)

＝

＝(－8,1)＝，∴＝.]

(3)[解]　∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，

∴＋2＝(－2,10)＋2(－8,4)

＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)，

－＝(－8,4)－(－10,14)

＝(－8,4)－(－5,7)

＝(－3，－3)．

平面向量坐标的线性运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．

2．已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；

(2)a－3b；

(3)a－b.

[解]　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)

＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．

(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)

＝(－7，－1)．

(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)

＝－＝.

类型3　向量坐标运算的综合应用

1．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？

[提示]　∵＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．

若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－.

若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－.

若点P在第二象限，则

∴－<t<－.

2．如果尝试发现1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

[提示]　∵＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，

若四边形OABP为平行四边形，

则＝，∴该方程组无解．

故四边形OABP不能为平行四边形．

3．已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C的横坐标的取值范围是什么？

[提示]　当ABCD为平行四边形时，则＝＋＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)，故满足条件的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．

【例3】　(1)已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若A＝A＋λA(λ∈R)，试求λ为何值时，

①点P在一、三象限角平分线上？

②点P在第三象限内？

(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，求λ的值．

[思路探究]　(1)先用λ表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解．(2)根据向量坐标的条件关系求出参数．

[解]　(1)设点P的坐标为(x，y)，

则A＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，

A＋λA＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]

＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．

∵A＝A＋λA，

∴则

①若P在一、三象限角平分线上，

则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝，

即λ＝时，点P在一、三象限角平分线上．

②若点P在第三象限内，则∴λ<－1．

即λ<－1时，点P在第三象限内．

(2)a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，

由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，

解得λ＝.

1．待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，此方法是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．

2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．

3．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

[解]　由已知得，ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，

∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.此时ka＋b＝＝＝－(a－3b)，

∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．

1．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a－2b的坐标是(　　)

A．(5,3)　 　B．(4,3)　 　C．(8,3)　 　D．(0，－1)

B　[3a－2b＝3(2,1)－2(1,0)＝(4,3)．]

2．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是(　　)

A．a＝(－2,4)，b＝(0,3)

B．a＝(2,3)，b＝(3,2)

C．a＝(2，－1)，b＝(3,7)

D．a＝(4，－2)，b＝(－8,4)

D　[对于D选项，b＝－2a，即a∥b，故a与b不能作为平面内所有向量的一组基底．]

3．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，那么可以表示为(　　)

A．2i＋3j B．4i＋2j

C．2i－j D．－2i＋j

C　[记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.]

4．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．

　[＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.]

5．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则x＝________.

　[因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，

u＝a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，

v＝2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．

又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，

解得x＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．向量的终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗？

[提示]　向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同．

2．平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式，对平面内的任意两点都成立吗？

[提示]　都成立．

3．用向量的坐标运算判断向量共线要注意什么问题？

[提示]　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当证明a∥b时，可利用x2y1＝x1y2进行证明，此种方法没有a≠0的条件限制，便于应用；也可用＝进行证明，即两向量的对应坐标成比例，特别注意x1y1≠0的条件限制．