高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.4 频率与概率学案

5.3.4　频率与概率

知识点　频率与概率

1．概率

(1)定义：一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.

(2)性质：随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1．

特别地，①当A是必然事件时，P(A)＝1．

②当A是不可能事件时，P(A)＝0.

2．概率与频率之间的联系

概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一个近似值．概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小．

1．下列说法正确的是(　　)

A．任何事件的概率总是在(0,1]之间

B．频率是客观存在的，与试验次数无关

C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率

D．概率是随机的，在试验前不能确定

C　[由概率与频率的有关概念可知C正确．]

2.已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是(　　)

A．若他投100次，一定有50次投中

B．若他投一次，一定投中

C．他投一次投中的可能性大小为50%

D．以上说法均错

C　[概率是指一件事情发生的可能性大小．]

类型1　对概率的理解

1．随机事件A的概率P(A)反映了什么？

[提示]　反映了事件A发生的可能性的大小．

2．随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有关系吗？

[提示]　随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．

【例1】　经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．

[思路探究]　结合概率的意义，正确理解概率的含义．

[解]　这种解释不正确，原因如下：

因为“投篮命中”是一个随机事件，90%是指此事件发生的概率，即每次投篮有90%命中的把握，但就一次投篮而言，也可能不发生，也可能发生，并不是说投100次必中90次．

概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定发生，只是认为发生的可能性大.

类型2　概率与频率的关系及求法

【例2】　下面的表中列出了10次抛掷硬币的试验结果，n为每次试验抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数．计算每次试验中正面向上的频率，并考查它的概率．

[思路探究]　→→→

[解]　由频率公式fn(A)＝，可分别得出这10次试验中事件正面向上出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494，

这些数字在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得，正面向上的概率约为0.5.

频率与概率有什么区别与联系？

[提示]　(1)频率与概率有本质的区别．频率随着试验次数的改变而改变，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象：当试验次数越来越大时，频率向概率靠近．

(2)随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率．概率可看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率．

1．下面是某批乒乓球质量检查结果表：

(1)在上表中填上优等品出现的频率；

(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少？

(3)若抽取乒乓球的数量为1 700只，则优等品的数量大约为多少？

[解]　(1)如下表所示：

(2)从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是0.95.

(3)由优等品的概率为0.95，则抽取1 700只乒乓球时，优等品数量为1 700×0.95＝1 615(只)．

类型3　概率的实际应用

【例3】　甲、乙两人做游戏，规定“同时掷两枚骰子，若出现点数之和为偶数，则甲胜，若出现点数之和为奇数，则乙胜”，乙说：“点数之和为2,3,4，…，12，共11种结果，其中偶数有6个，奇数有5个，所以这个游戏是不公平的，甲获胜的可能性要大些．”你认为乙的说法对吗？试说明理由．

[思路探究]　→→

[解]　乙的说法是不对的，该游戏是公平的，掷两枚骰子点数之和其实共有36种结果，如表所示：

不难看出点数之和为偶数的结果有18种，点数之和为奇数的结果也有18种，所以出现点数之和为偶数和点数之和为奇数的概率都是，故游戏是公平的．

1．解题关键是理解概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，因此计算概率是本题的核心问题．

2．解决此类问题要注意观察分析数据总数和某事件包含的数据个数，有时需要对试验可能出现的结果进行预测．

3．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．

2．如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于，这种理解正确吗？

[解]　这种理解是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”、“反面向上”的可能性都是，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是，而不会大于.

1．(多选题)下列说法正确的是(　　)

A．概率就是随机事件发生的频率

B．随机事件的概率不能为0

C．必然事件的概率为1

D．在大量实验中频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值

[答案]　CD

2．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为  (　　)

A．1　　　　　　　 B．

C． D．0

B　[由概率的意义知，第5个病人的治愈率仍为，与前4个病人都没治好没有关系．]

3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：

则取到号码为奇数的频率是(　　)

A．0.53 B．0.5　　　

C．0.47　　　 D．0.37

A　[取到号码为奇数的频率是＝0.53.]

4．在一次掷硬币试验中，掷30 000次，其中有14 984次正面朝上，则出现正面朝上的频率是________，这样，掷一枚硬币，正面朝上的概率是________．

0.499 5　0.5　[设“出现正面朝上”为事件A，则n＝30 000，nA＝14 984，fn(A)＝≈0.499 5，P(A)＝0.5.]

5．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上．设反面朝上为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________．

52　0.52　[100次试验中，48次正面朝上，则52次反面朝上，频率＝＝＝0.52.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都一样吗？

[提示]　概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都是一样的．

2．怎样根据频率求事件发生的概率？

[提示]　在实践中，在大量的重复试验后，人们经常采用频率估计概率．