高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.2 对数运算法则学案

4.2.2　对数运算法则

知识点1　对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么：

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2，…，k)．

(2)logaMα＝αlogaM.

(3)loga＝logaM－logaN.

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)积、商的对数可以化为对数的和、差． (　　)

(2)loga(xy)＝logax·logay.  (　　)

(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．  (　　)

[提示]　(1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；

(2)×.根据对数的运算性质可知loga(xy)＝logax＋logay；

(3)×.公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．计算log84＋log82等于(　　)

A．log86　 B．8　　　　

C．6　　　　 D．1

D　[log84＋log82＝log8(4×2)＝log88＝1．]

知识点2　换底公式

logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)．

特别地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1)．

如何准确地应用换底公式？

[提示]　(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．

(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题．

如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个底数的对数，再根据运算法则进行化简与求值．

(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用．

①logab＝；②logambn＝logab，其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.

3.log35·log56·log69＝________.

2　[原式＝··＝＝＝2.]

类型1　利用对数的运算法则求值

【例1】　(对接教材P22例2)(1)计算8＋2lg 2－lg 的值为________．

(2)计算：log3＋lg 4＋lg 25＋＝________.

(3)计算：

①lg；

②log2(47×25)；

③(lg 2)2＋lg 20×lg 5.

(1)　(2)　[(1)原式＝(23)＋lg 4－(lg 1－lg 25)＝＋lg(4×25)＝＋2＝.

(2)原式＝＋lg 102＋1＝＋2＋1＝.]

(3)[解]　①lg＝lg 102＝lg 10＝.

②log2(47×25)＝log247＋log225

＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19.

③(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2)

＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1．

对数式化简与求值的基本原则和方法

(1)基本原则：

对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

(2)两种常用的方法：

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

计算下列各式的值：

(1)2log23－log2＋log27－7；

(2)log3＋lg 25＋lg 4－log2(log216)．

[解]　(1)2log23－log2＋log27－7

＝log29－log2＋log27－2

＝log2－2＝3－2＝1．

(2)原式＝log33＋lg(25×4)－2＝＋2－2＝.

类型2　对数运算法则的综合应用

【例2】　(1)已知log312＝a，试用a表示log324；

(2)设a＝lg 2，b＝lg 3，试用a，b表示lg.

[思路探究]　对数运算⇒对数运算法则的应用．

[解]　(1)log312＝log3(3×4)＝1＋2log32＝a，

所以log32＝，log324＝log3(8×3)

＝1＋3log32＝1＋3×＝.

(2)因为108＝4×27＝22×33，所以

lg＝lg 108＝lg(22×33)

＝lg 22＋lg 33＝lg 2＋lg 3＝a＋b.

应用对数求值应注意的三点

(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式．

(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法．

(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．

类型3　对数换底公式的应用

1．假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可以得到什么结论？

[提示]　进一步可以得到x＝log35，即log35＝.

2．由尝试与发现1，你能猜测与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？

[提示]　＝logab.假设＝x，则logcb＝xlogca，即logcb＝logcax，所以b＝ax，则x＝logab，所以＝logab.

【例3】　已知3a＝4b＝c，且＋＝2，求实数c的值．

[思路探究]　先把指数式化为对数式，再利用换底公式转化为同底的对数运算．

[解]　由3a＝4b＝c，得：a＝log3c，b＝log4c，

所以＝＝logc3，＝＝logc4.

又＋＝2，所以logc3＋logc4＝logc12＝2，

即c2＝12，又3a＝4b＝c>0，所以c＝2.

利用换底公式求值的思想与注意点

1．若2a＝3b(ab≠0)，则log32＝(　　)

A．　　　　　　　 B．

C．ab D．

A　[2a＝3b⇒alg 2＝blg 3，所以log32＝＝.]

2．(多选题)下列结论正确的是(　　)

A．loga(x－y)＝logax－logayB．＝logyx

C．loga＝logax－logay D．loga＝

BC　[由对数的运算性质，知AD错误，故BC正确．]

3．若log545＝a，则log53＝(　　)

A． B．

C． D．

D　[因为log545＝log5(5×9)＝1＋log59

＝1＋2log53＝a，

所以log53＝.]

4．计算：log25－log2＝________.

1　[原式＝log2＝log22＝1．]

5．若3a＝2，则2log36－log38＝________.

2－a　[∵3a＝2，∴a＝log32，∴2log36－log38＝2(log32＋log33)－3log32＝－log32＋2＝2－a.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．对数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？

[提示]　(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；

(2)logaMα＝αlogaM；

(3)loga＝logaM－logaN.

以上各式适用条件是a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，α∈R.

2．换底公式的内容是什么？如何利用换底公式解决问题？

[提示]　logab＝(a＞0且a≠1，b＞0，c＞0且c≠1)．

利用换底公式可解决化简、求值与证明问题：

利用换底公式将不同底数的对数式转化成同底数的对数式时，为了运算便捷，应选择合适的底数，若无明确思路，可将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．另外，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

3．在对数运算性质、换底公式的应用时，注意什么问题？

[提示]　应用对数运算性质、对数换底公式时忽略条件或将公式记忆错误．