高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理学案及答案

微专题1　平面向量数量积的综合应用

向量的数量积运算、向量的垂直是考查的热点，平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查．解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、直观想象等核心素养．

类型1　数量积的计算

【例1】　(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________．

(2)在△ABC中，已知与的夹角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．

(1)12　(2)　[(1)因为·＝2·，

所以·－·＝·，

所以·＝·.

因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，

所以2||＝||||cos ，

化简得||＝2.

故·＝·(＋)＝||2＋·

＝(2)2＋2×2cos ＝12.

(2)根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，

所以＝(0，2)，＝(1，0)，＝(1，－2).

设M(x，y)，则＝(x，y)，

所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，

所以x＝2y，

又＝λ＋μ，

即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，

所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.]

平面向量数量积的运算方法

(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为a，b的夹角).

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

类型2　求模

【例2】　已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||＝________．

2　[因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，

所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)

＝4×(3－2×2××cos ＋4)＝4，

则||＝2.]

求向量的模的方法

(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算化为数量积运算；

(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解．

类型3　求夹角

【例3】　已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________．

－　[因为2＝，

所以E为BC的中点．

设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，

·＝(＋)·(－)

＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，

所以cos θ＝＝＝－.]

求平面向量的夹角的方法

(1)定义法：由向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；

(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝．

类型4　垂直问题

【例4】　△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)

A．|b|＝1     B．a⊥b

C．a·b＝1     D．(4a＋b)⊥

D　[∵b＝－＝，∴|b|＝||＝2，故A错；

∵·＝2×2×cos 60°＝2，即－2a·b＝2，∴a·b＝－1，故B，C都错；

∵(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0，

∴(4a＋b)⊥，故选D.]

两向量垂直的应用a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).

类型5　数量积的综合问题

【例5】　已知向量m＝(sin  α－2，－cos α)，n＝(－sin  α，cos α)，其中α∈R.

(1)若m⊥n，求α；

(2)若|m－n|＝，求sin α的值．

[解]　(1)若m⊥n，则m·n＝0，

即－sin  α(sin  α－2)－cos2α＝0，

即sinα＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.

(2)若|m－n|＝，则(m－n)2＝2，

即(2sin  α－2)2＋(－2cos α)2＝2，

即4sin 2α＋4－8sin  α＋4cos2α＝2，

即8－8sinα＝2，

可得sin  α＝.

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解．

 (2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解．