必修 第二册1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台学案设计

1．3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台

知识点1　球、圆柱、圆锥和圆台

1.连接圆锥底面上任意一点和顶点的连线都是圆锥的母线．圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？

[提示]　不一定．圆柱的母线与轴是平行的．

2．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？

[提示]　不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部．

知识点2　旋转体

(1)旋转面：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面．

(2)旋转体：封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)过圆锥轴的截面是全等的等边三角形． (　　)

(2)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥． (　　)

(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球． (　　)

[提示]　(1)错误．不一定是等边三角形，但一定是等腰三角形．

(2)错误．直角三角形只有绕一直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．

(3)错误．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成是球面，而不是球．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2.如图所示的图形中有(　　)

A.圆柱、圆锥、圆台和球

B.圆柱、球和圆锥

C.球、圆柱和圆台

D.棱柱、棱锥、圆锥和球

B　[根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.]

类型1　旋转体的结构特征

【例1】　下列命题正确的是________(只填序号).

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；

⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．

④⑥　[①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确．]

简单旋转体判断问题的解题策略

(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．

(2)解题时要注意两个明确：

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线．

1．下列结论正确的是(　　)

A.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台

B.经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥

D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

D　[需用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误．故选D.]

类型2　旋转体中截面问题的有关计算

【例2】　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：

(1)圆台的高；

(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．

[解]　(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)，O1，O分别是圆台上，下底面的圆心，AM⊥BC.

由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.

又由题意知腰长为12 cm，

所以高AM＝

＝3(cm).

(2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S，

设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，

解得l＝20(cm). 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．

2．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.

4　[如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°，所以该地球仪的半径R＝＝4 cm.]

类型3　旋转体的有关计算

【例3】　如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：

(1)绳子的最短长度的平方f(x)；

(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；

(3)f(x)的最大值．

1．圆柱的底面半径和高分别是r，h，其侧面展开图是什么(指出其尺寸)?

[提示]　圆柱的侧面是矩形，两边长分别为h和2πr.

2．圆锥的底面半径和高分别是r，h，其侧面展开图是什么(指出其尺寸)?

[提示]　圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是，弧长是2πr.

3.→→→

[解]　将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，

∴L＝2πr＝2π.

∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.

(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4).

∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4).

(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，

∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，

∴SR＝＝(0≤x≤4)，

即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).

(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，∴f(x)的最大值为f(4)＝32.

求几何体表面上两点间的最小距离的步骤

(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；

(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；

(3)结合已知条件求得结果．

3.如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40 cm，B1Q＝30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？

[解]　将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形．设圆柱的底面半径为r，则r＝10 cm.

∴A1B1＝·2πr＝πr＝10π(cm).

过点Q作QS⊥AA1于点S，在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，QS＝A1B1＝10π(cm).

∴PQ＝

＝10(cm).

即蚂蚁爬过的最短路径长是10 cm.

1．圆锥的母线有(　　)

A．1条    B．2条    C．3条    D．无数条

D　[圆锥底面上任意一点和圆锥顶点的连线都是圆锥的母线，所以圆锥的母线有无数条．]

2．下图是由哪个平面图形旋转得到的(　　)

A　[图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．]

3.如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　)

A．一个球体

B．一个球体中间挖去一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个长方体

B　[圆面绕着直径所在的轴旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.]

4．(多选题)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是(　　)

A．圆柱    B．圆台    C．球体    D．棱台

ABC　[圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形．只有棱台可以截出三角形，故选ABC.]

5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．

2　[如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，

∴＝AB2，

∴AB＝2.

故圆锥的母线长为2.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.圆柱、圆锥、圆台及球是由怎样的平面图形旋转而成的？

[提示]　圆柱、圆锥、圆台是分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体．球是以半圆面的直径所在直线为旋转轴旋转一周所形成的．

2.圆柱、圆锥、圆台三者图形之间有怎样的关系？

[提示]　圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

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