高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步4 平行关系4.1 直线与平面平行第1课时学案

§4　平行关系

4．1　直线与平面平行

第1课时　直线与平面平行的性质

知识点　直线与平面平行的性质定理

1.如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？

[提示]　无数个，a∥b.

2．若直线a和平面α不平行，那么在平面α内是否存在直线和直线a平行？

[提示]　若a⊂α，则在平面α内存在无数条直线和直线a平行；

若a不在平面α内，则在平面α内不存在直线和直线a平行．

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若直线l∥平面α，且b⊂α，则l∥b. (　　)

(2)若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线．   (　　)

(3)若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b. (　　)

[提示]　(1)错误．直线l与b可能平行，也可能异面．

(2)错误．当直线l⊂α时，在平面α内也存在无数条直线和l平行．

(3)错误．直线a与b可能平行、相交或异面．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

类型1　利用线面平行的性质定理证明线线平行

【例1】　(教材北师版P217例2改编)已知直线a∥平面α，a⊂平面β，α∩β＝b，b∥平面γ，α∩γ＝c.求证：a∥c.

[证明]　∵a∥α，a⊂β，β∩α＝b，∴a∥b，又∵b∥γ，b⊂α，α∩γ＝c，∴b∥c，∴a∥c.

直接应用线面平行的性质定理，关键是摆全定理中的三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.三个条件缺一不可．

1.如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．

[证明]　∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.

又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.

同理可证NP∥MQ.

∴四边形MNPQ为平行四边形．

类型2　利用线面平行的性质求线段比

【例2】　如图，已知E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．

[解]　如图，连接BD交AC于点O1，连接OM，

因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，

所以PC∥OM，所以＝.

在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以＝.

又AO1＝CO1，所以＝＝，故PM∶MA＝1∶3.

解此类题的关键：一是转化，即把线面平行转化为线线平行；二是计算，把要求的线段长或线段比问题，转化为同一个平面内的线段长或线段比问题去求解，此时需认真运算，才能得出正确的结果．

2．如图所示，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．

1　[连接BC1，设B1C∩BC1＝E，连接DE. 由A1B∥平面B1CD可知，A1B∥DE.因为E为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，所以A1D∶DC1的值为1.]

类型3　线面平行的性质的综合应用

【例3】　已知正方体AC1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为________．

1．线面平行性质定理的作用是什么？

[提示]　线面平行性质定理的作用是利用“线面平行”去判断或证明“线线平行”．

2．应用线面平行性质定理的关键是什么？

[提示]　已知直线和平面平行时，应用线面平行性质定理的关键是找到过已知直线的平面和已知平面的交线，得到两直线平行．

 　[如图，连接AD1，AB1，

∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，

PQ⊂平面AB1D1，∴PQ∥AB1，

∴PQ＝AB1＝＝.]

(1)利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点

①根据已知线面平行关系推出线线平行关系．

②在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．

③利用所得关系计算求值．

(2)逻辑推理是数学核心素养之一．

3．一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，判断这四个交点围成的四边形的形状．

[解]　如图所示，设AC∥平面EFGH，则EF∥HG.而对角线BD与平面EFGH不平行，所以EH与FG不平行．所以EFGH是梯形．

1.如图所示，在空间四边形ABCD中， F，G分别是线BC，CD的中点，EH∥平面CBD，则EH与FG的位置关系是(　　)

A．平行     B．相交

C．异面     D．不确定

A　[因为EH∥平面CBD，平面CBD∩平面ABD＝BD，所以EH∥BD，又FG∥BD，所以EH∥FG.]

2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　　)

A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点

D．都平行或交于同一点

A　[因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.]

3.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)

A．GH∥SA

B．GH∥SD

C．GH∥SC

D．以上均有可能

B　[因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.]

4．已知a，b表示直线，α表示平面．下列命题中，正确的个数是________．

①若a∥α，b∥α，则a∥b；

②若a∥α，b⊂α，则a∥b；

③若a∥b，b∥α，则a∥α.

0　[①错，直线a与b的关系可以是平行，也可以是相交或异面；②错，a与b可能平行，也可能异面；③错，直线a也可能在平面α内．]

5.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________．

　[根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何运用线面平行的性质？

[提示]　在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．

2.线面平行的性质中体现了怎样的数学思想？

[提示]　要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．