北师大版 (2019)必修 第二册2.2 向量的减法学案

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2．2　向量的减法学 习 任 务核 心 素 养1．掌握向量减法的定义，理解相反向量的意义．(重点)2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量．(难点)1．通过向量减法的概念及减法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量减法法则的应用，培养数学运算素养． 小明的父亲在台北工作，他经常乘飞机从台北到香港开会，再从香港到上海洽谈业务．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．阅读教材，综合上述情境回答下列问题：问题1：上述问题中，b能用a，c表示吗？问题2：方向相同且模相等的两个向量称为什么向量？方向相反且模相等的两个向量称为什么向量？问题3：零向量的相反向量是什么？问题4：向量减法是向量加法的逆运算吗？知识点1　相反向量定义把与向量a长度相等、方向相反的向量，叫作向量a的相反向量，记作－a规定：零向量的相反向量仍是零向量．性质(1)－(－0)＝0；(2)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a． 知识点2　向量减法(1)定义向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．(2)几何意义如图，设＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．向量的减法可以转化为向量的加法来运算吗？[提示]　因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)＝－；  (　　)(2)相反向量是共线向量；  (　　)(3)a－b的相反向量是b－a；  (　　)(4)|a－b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.  (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√2.－＋＋＝(　　)A．    B．    C．    D．[答案]　B 类型1　向量减法的几何作图【例1】　(教材北师版P84例4改编)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解]　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 若本例条件不变，则a－b－c如何作？[解]　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c. 利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a，b，如图①所示，作＝a，＝b，则＝a－b.,(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作＝－b，则，即＝a－b.1.如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作：(1)向量b＋c－a；(2)向量a－b－c.[解]　(1)以，为邻边作▱OBDC，如图，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c. 类型2　向量减法的运算【例2】　化简下列式子：(1)－－－；(2)(－)－(－).[解]　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.(2)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.化简向量的和差的方法(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号．(2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点．提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．2．化简：(1)(－)－(－)；(2)(＋＋)－(－－).[解]　(1)(－)－(－)＝－＝.(2)(＋＋)－(－－)＝＋－＋(＋)＝＋－＋＝－＋＝＋＋＝＋＝0. 类型3　向量加减法的综合应用【例3】　(1)已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则|a－b|＝________．(2)(教材北师版P85例6改编)已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.(1)　[(1)设＝a，＝b，＝a＋b，则四边形ABCD是平行四边形．又∵()2＝12＋22，∴平行四边形ABCD为矩形，∴|a－b|＝＝||＝.](2)[解]　如图所示：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋c－b.用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可．3．设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|.试判断四边形ABCD的形状．[解]　由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，即－＝－，∴＝，于是AB与CD平行且相等，∴四边形ABCD为平行四边形．又|a－b|＝|a－d|，从而|－|＝|－|，∴||＝||，∴四边形ABCD为菱形．1．在△ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)A．a＋b　　 B．a－bC．b－a     D．－a－bC　[＝－＝b－a.]2．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c[答案]　A3．(多选题)下列四个式子中可以化简为的是(　　)A．＋－   B．－C．＋     D．－.AD　[因为＋－＝－＝＋＝，所以A正确；因为－＝，所以D正确，故选AD.]4．设正方形ABCD的边长为2，则|－＋－|＝________．4　[如图，原式＝|(＋)－(＋)|＝|－|＝|＋|＝2||，∵正方形边长为2，∴2||＝4.]5．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)垂直　[如图所示，设＝a，＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形，则|a＋b|＝||，|a－b|＝||，又|a＋b|＝|a－b|，则||＝||，即平行四边形OACB的对角线相等，∴平行四边形OACB是矩形，∴a⊥b.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.向量减法的实质是什么？[提示]　向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2.在用三角形法则作向量减法时，应注意什么问题？[提示]　在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.