数学选择性必修 第一册4.1 二项分布当堂达标检测题

第六章概率

§4　二项分布与超几何分布

4.1　二项分布

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是(　　)

A.0.49 B.0.42 C.0.7 D.0.91

答案B

解析两人中恰有一人击中目标的概率为0.7×0.3=0.42.

2.设随机变量ξ服从二项分布ξ~B6,,则P(ξ≤3)等于(　　)

A B 

C D

答案C

解析P(ξ≤3)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=6+6+6+6=故选C.

3.设二项分布X~B(n,p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44,则二项分布的参数n,p的值为 (　　)

A.n=4,p=0.6 

B.n=6,p=0.4

C.n=8,p=0.3 

D.n=24,p=0.1

答案B

解析由题意得,np=2.4,np(1-p)=1.44,∴1-p=0.6,∴p=0.4,n=6.

4.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=k×n-k,k=0,1,2,…,n,且Eξ=24,则Dξ的值为(　　)

A.8 B.12 C D.16

答案A

解析由题意可知ξ~Bn,,

n=Eξ=24.

∴Dξ=n1-=24=8.

5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,且每赢一局得1分,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　)

A B C D

答案A

解析当甲以3∶1的比分获胜时,说明甲乙两人在前三局比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P=21-=3,故选A.

6.下列说法正确的是　　　　. 

①某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量,且X~B(10,0.6);

②某种彩票的中奖概率为p,某人一次买了8张,中奖张数X是一个随机变量,且X~B(8,p);

③从装有5个红球、5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,则摸球次数X是随机变量,且X~Bn,.

答案①②

解析①②显然满足n重伯努利试验的条件,而③虽然是有放回地摸球,但随机变量X的定义是直到摸出白球为止,也就是说前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,是否进行下一次实验与上次实验结果有关,不符合二项分布的定义.

7.设X~B(2,p),若P(X≥1)=,则p=　　　　. 

答案

解析∵X~B(2,p),

∴P(X=k)=pk(1-p)2-k,k=0,1,2.

∴P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-p0(1-p)2=1-(1-p)2,∴1-(1-p)2=

结合0≤p≤1,解得p=

8.有n位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1),假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有一位同学通过测试的概率为　　　　. 

答案1-(1-p)n

解析所有同学都不通过的概率为(1-p)n,故至少有一位同学通过的概率为1-(1-p)n.

9.现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题,设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列.

解随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)=0×2,

P(X=1)=1×10×2,

P(X=2)=2×01×1,

P(X=3)=2×0

所以X的分布列为

10.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓是否出现音乐相互独立.

(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.

(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?

解(1)X可能的取值为10,20,100,-200.

根据题意,有

P(X=10)=1×1-2=,

P(X=20)=2×1-1=,

P(X=100)=3×1-0=,

P(X=-200)=0×1-3=

所以X的分布列为

(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=

所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为

1-P(A1A2A3)=1-3=1-

因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是

等级考提升练

11.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是(　　)

A.0.216 B.0.36 

C.0.432 D.0.648

答案D

解析甲获胜有两种情况,一是甲以2∶0获胜,此时P1=0.62=0.36;二是甲以2∶1获胜,此时P2=0.6×0.4×0.6=0.288,故甲获胜的概率P=P1+P2=0.648.

12.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上和向右的概率都是,则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率是(　　)

A.5 B5

C5 D5

答案B

解析点P移动5次后位于点(2,3),需在5次移动中,向右2次,向上3次.所以P=23=5.故选B.

13.掷一枚质地均匀的骰子n次,设出现k次点数为1的概率为Pn(k),若n=20,则当Pn(k)取最大值时,k为 (　　)

A.3 B.4 

C.8 D.10

答案A

解析掷一枚质地均匀的骰子20次,其中出现点数为1的次数为X,X~B20,,

Pn(k)=20-k×k.

-1,

当1≤k≤3时,-1>1,Pn(k)>Pn(k-1).

当k≥4时,-1<1,Pn(k)<Pn(k-1).因此k=3时,Pn(k)取最大值.故选A.

14.某同学通过英语听力测试的概率为,他连续测试n次,要保证他至少有一次通过的概率大于0.9,那么n的最小值是(　　)

A.3 B.4 

C.5 D.6

答案B

解析由题意可得,1-1-n>0.9,即n<0.1,所以n≥4,故选B.

15.(多选题)某城镇小汽车的家庭普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车,若从该城镇中任意选出5个家庭,则下列结论成立的是(　　)

A.这5个家庭均有小汽车的概率为

B.这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为

C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车

D.这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为

答案ACD

解析由题得小汽车的普及率为A.这5个家庭均有小汽车的概率为5=,故A成立;B.这5个家庭中,恰有三个家庭拥有小汽车的概率为32=,故B不成立;C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车,故C成立;D.这5个家庭中,四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为4+5=,故D成立.

16.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥1)=　　　　. 

答案

解析P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=,又0≤p≤1,所以p=,所以P(η≥1)=1-P(η=0)=1-(1-p)3=

17.一次数学测验由25道选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每个答案选择正确得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分,某学生选对任一题的概率为0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为　　　、　　　. 

答案60　96

解析设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X,所得的分数(成绩)为Y,则Y=4X.

由题知X~B(25,0.6),

所以EX=25×0.6=15,

DX=25×0.6×0.4=6,

EY=E(4X)=4EX=60,

DY=D(4X)=42×DX=16×6=96,

所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.

18.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的占60%,参加过计算机培训的占75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.

(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;

(2)任选3名下岗人员,记ξ为3人中参加过培训的人数,求ξ的分布列.

解(1)任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B,则事件A与B相互独立,且P(A)=0.6,P(B)=0.75.所以,该下岗人员没有参加过培训的概率是P()=P()·P()=(1-0.6)×(1-0.75)=0.1.

所以该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9.

(2)因为每个人的选择是相互独立的,所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布ξ~B(3,0.9),P(ξ=k)=0.9k×0.13-k,k=0,1,2,3,

所以ξ的分布列是

新情境创新练

19.甲、乙两名运动员参加乒乓球单打比赛,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的概率相等.

(1)求乙以4比1获胜的概率;

(2)求甲获胜且比赛局数多于5局的概率.

解(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是,记“乙以4比1获胜”为事件A,则A表示前4局乙赢了3局甲赢了1局,且第五局乙赢,所以P(A)=3

(2)记“甲获胜且比赛局数多于5局”为事件B,则B表示甲以4比2获胜,或甲以4比3获胜.

因为甲以4比2获胜,表示前5局比赛中甲赢了3局且第六局比赛中甲赢了,这时,无需进行第7局比赛,故甲以4比2获胜的概率为3×2

甲以4比3获胜,表示前6局比赛中甲赢了3局且第七局比赛中甲赢了,故甲以4比3获胜的概率为3×3,

所以P(B)=