高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 从平面向量到空间向量复习练习题

第三章空间向量与立体几何

§2　空间向量与向量运算

2.1　从平面向量到空间向量　2.2　空间向量的运算

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)

A.-a+b+c 

B.a+b+c

C.-a-b+c 

D.a-b+c

答案A

解析由题意,)=-=-a+b+c.故选A.

2.已知三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,则)=(　　)

A. B.

C. D.

答案D

解析如图,取CD的中点F,连接AF,EF,

∵三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,

∴)=.故选D.

3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　)

A.-6 B.6

C.3 D.-3

答案B

解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.

4.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(-2)·()=0,则△ABC是(　　)

A.直角三角形 

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 

D.等边三角形

答案B

解析因为-2=()+()=,

所以(-2)·()=()·()==0,

所以||=||,因此△ABC是等腰三角形.

5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则=.

答案a2

解析

=||||cos<>

=a·a·cos60°=a2.

6.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,m⊥n,则λ=　　　　　. 

答案-

解析由m⊥n得m·n=0.

m·n=(a+b)·(a+λb)=a2+(λ+1)a·b+λb2

=18+(λ+1)×12+16λ=6+4λ=0,

∴λ=-.

7.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.

解

=)=a

=)-a

=(b-a+c-a)-a

=-a+b+c;

)-

=b+c-a.

8.在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值.

解因为,

所以=||||·cos<>-||||cos<>=8×4×cos135°-8×6×cos120°=-16+24,所以cos<>=,

即OA与BC所成角的余弦值为.

等级考提升练

9.

已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,M,N分别是BC,CD的中点,如图所示,则)等于(　　)

A. B.

C. D.

答案A

解析)=,故选A.

10.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　)

A.平行四边形 B.空间四边形

C.等腰梯形 D.矩形

答案A

解析由,得,故四边形ABCD为平行四边形,故选A.

11.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60°,其模都为1,则|a-b+2c|等于(　　)

A. B.5 C.6 D.

答案A

解析∵|a-b+2c|2=a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c=5.

∴|a-b+2c|=.

12.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=,且a与2b-a互相垂直,则<a,b>=(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

答案B

解析a·(2b-a)=2a·b-a2=2|a||b|cos<a,b>-|a|2=4cos<a,b>-4=0.∴cos<a,b>=,又<a,b>∈[0°,180°],∴<a,b>=45°.

13.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题,其中正确的有(　　)

A.()2=3

B.·()=0

C.的夹角为60°

D.正方体的体积为||

答案AB

解析如图所示,

()2=()2==3;

·()==0;

的夹角是夹角的补角,

而的夹角为60°,故的夹角为120°;

正方体的体积为||||||.故A,B正确.

14.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x,则x的值为　　　　　. 

答案

解析∵点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x,

∴x+=1,解得x=.

15.设向量a与b互相垂直,向量c与它们的夹角都是60°,且|a|=5,|b|=3,|c|=8,那么(a+3c)·(3b-2a)=　　　　　. 

答案-62

解析(a+3c)·(3b-2a)=3a·b-2|a|2+9b·c-6a·c=-2×25+9×3×8×-6×5×8×=-62.

16.

如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=ND,求MN.

解∵+()+)=-,∴·-=a2-a2cos60°-a2cos60°+a2cos60°=a2,

故||=a,即MN=a.

新情境创新练

17.

如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.

(1)求证:CE⊥A'D;

(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.

(1)证明设=a,=b,=c,

根据题意得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.

∴=b+c,=-c+b-a.

∴=-c2+b2=0,

∴,即CE⊥A'D.

(2)解∵=-a+c,

∴||=|a|,||=|a|.

∵=(-a+c)·c2=|a|2,

∴cos<>=.

∴异面直线CE与AC'所成角的余弦值为.