数学选择性必修 第一册4.2 超几何分布课后测评

第六章概率

§4　二项分布与超几何分布

4.2　超几何分布

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.今有电子元件50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任取3个,出现二级品的概率为(　　)

A B

C.1- D

答案C

解析出现二级品的情况较多,可以考虑不出现二级品概率为,故答案为1-

2.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为(　　)

A B

C D

答案D

解析由题意知此概率符合超几何分布,则P=

3.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率等于的是(　　)

A.P(X=2) B.P(X≤2)

C.P(X=4) D.P(X≤4)

答案C

解析15个村庄中,7个村庄交通不方便,8个村庄交通方便,表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄,故P(X=4)=

4.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于　　　　. 

答案

解析取到的2个球颜色不同的概率P=

5.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为　　　　.(结果用最简分数表示) 

答案

解析所求概率P=1-

6.在一次英语口语考试中,有备选的10道试题,已知某考生能答对其中的8道试题,规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试,至少答对2道题才算及格,求该考生答对的试题数X的分布列,并求该考生及格的概率.

解X=1,2,3,

P(X=1)=;

P(X=2)=;

P(X=3)=

所以X的分布列为

该考生及格的概率为

P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=

7.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的概率都相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字,求:

(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;

(2)随机变量X的分布列;

(3)计分介于20分到40分之间的概率.

解(1)(方法一)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)=

(方法二)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B,则事件A和事件B是对立事件.

因为P(B)=,

所以P(A)=1-P(B)=1-

(2)由题意,X的所有可能取值为2,3,4,5.

P(X=2)=;

P(X=3)=;

P(X=4)=;

P(X=5)=

所以随机变量X的分布列为

(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C,则P(C)=P(X=3或X=4)=P(X=3)+P(X=4)=

等级考提升练

8.某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”,则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为(　　)

A B

C D

答案C

解析组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为

9.一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是(　　)

A.P(0<X≤2) B.P(X≤1)

C.P(X=1) D.P(X=2)

答案B

解析结合题意,当X=1时,P(X=1)=,当X=0时,P(X=0)=,故P(X≤1)=

10.设袋中有80个球,其中40个红球,40个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中任取两球,则所取的两球同色的概率为(　　)

A B C D

答案A

解析由题意知所求概率为P=

11.一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为的事件是(　　)

A.没有白球 B.至少有一个白球

C.至少有一个红球 D.至多有一个白球

答案B

解析表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率,即至少有一个白球的概率.

12.(多选题)已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为ξ,已知P(ξ=1)=,则这10件产品的次品数可能为(　　)

A.8 B.6 C.4 D.2

答案AD

解析设10件产品中有x件次品,则P(ξ=1)=,∴x=2或x=8.

13.50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,n的值至少为　　　　. 

答案15

解析用X表示中奖票数,P(X≥1)=>0.5,又n∈N+,∴15≤n≤84,∴n的值至少是15.

14.某科技小组有5名男生、3名女生,从中任选3名同学参加活动,若X表示选出女生的人数,则P(X=2)=　　　　. 

答案

解析由题意,从5名男生、3名女生中任选3名同学参加活动,选出女生的人数为2的概率P(X=2)=

15.某单位招聘员工时,要求参加笔试的考生从5道A类题和3道B类题共8道题中任选3道作答.

(1)求考生甲至少抽到2道B类题的概率;

(2)若答对A类题每道计1分,答对B类题每道计2分,不答或答错,则该题计0分.考生乙抽取的是1道A类题、2道B类题,且他答对每道A类题的概率为,答对每道B类题的概率是,各题答对与否相互独立,用X表示考生乙的得分,求X的分布列和数学期望.

解(1)设“考生甲至少抽到2道B类题”为事件A,则P(A)=

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,

所以P(X=0)=1-×1-2=,

P(X=1)=1-2=,

P(X=2)=1-1-,

P(X=3)=1-,

P(X=4)=1-2=,

P(X=5)=2=,

所以X的分布列为

所以EX=0+1+2+3+4+5

新情境创新练

16.某实验中学要从高二年级部中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”,经过层层选拔,甲、乙两个班级进入最后决赛,规定回答1个相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级6名选手,现从每个班级6名选手中随机抽取3人回答这个问题.已知甲班级的6人中有4人可以正确回答这个问题,而乙班级6人中能正确回答这个问题的概率每人均为,甲、乙两班级每个人对问题的回答都相互独立.

(1)求甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率;

(2)分别求甲、乙两个班级能正确回答这个问题的人数的期望EX、EY和方差DX、DY,并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好.

解(1)甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率为3=

(2)甲班级能正确回答这个问题的人数为X,X的取值分别为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,则EX=1+2+3=2,DX=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2

乙班级能正确回答这个问题的人数为Y,Y的取值分别为0,1,2,3,因为Y~B3,,

所以EY=3=2,DY=3,由EX=EY,DX<DY可得,由甲班级代表学校参加大赛更好.