北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.5 两条直线的交点坐标课后作业题

第一章直线与圆

§1　直线与直线的方程

1.5　两条直线的交点坐标

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为 (　　)

A.(-4,-3) B.(4,3)

C.(-4,3) D.(3,4)

答案C

解析由解得即交点坐标是(-4,3).故选C.

2.过2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点且与4x-3y-7=0平行的直线是(　　)

A.3x+4y+17=0 B.4x-3y-6=0

C.3x+4y-17=0 D.4x-3y+18=0

答案B

解析由解得

∴直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点为(3,2).

设与直线4x-3y-7=0平行的直线的方程为4x-3y+a=0,把点(3,2)代入4x-3y+a=0,得a=-6,

∴所求直线方程为4x-3y-6=0.

故选B.

3.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为(　　)

A.3x-19y=0 B.19x-3y=0

C.19x+3y=0 D.3x+19y=0

答案D

解析过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,代入原点坐标,求得λ=-,故所求直线方程为x-3y+4-(2x+y+5)=0,即3x+19y=0,故选D.

4.两条直线x-my+4=0和2mx+5y-4m=0的交点在第二象限,则m的取值范围是(　　)

A.(-∞,) B.(-,0)

C.(0,) D.(-)

答案C

解析由解得即两条直线的交点为,

由交点在第二象限,得<0且>0,

解得m∈(0,).

5.直线l1:x+by=1与直线l2:x-y=a的交点坐标为(0,2),则a=　　　　,b=　　　　. 

答案-2　

解析将点(0,2)代入直线x+by=1,解得b=,将点(0,2)代入直线x-y=a,解得a=-2.

6.(2020福建莆田一中高二月考)经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　　　　　. 

答案x+y+1=0或3x+4y=0

解析由题意可设所求直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,

即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0,令x=0,得y=;令y=0,得x=.

∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等,

∴,即λ=或λ=,

∴所求直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.

7.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.

证明将原方程整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,

此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系数与常数项均等于零,故有解得

所以m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4).

等级考提升练

8.过直线l1:3x+y-1=0与直线l2:x+2y-7=0的交点,并且与直线l1垂直的直线方程是(　　)

A.x-3y+7=0 B.x-3y+13=0

C.x-3y+6=0 D.x-3y+5=0

答案B

解析由解得所以直线l1与l2的交点为(-1,4),

又与直线l1垂直的直线的斜率为,由点斜式,得所求直线方程为y-4=(x+1),即x-3y+13=0,故选B.

9.已知直线l过直线2x+y-5=0和直线x+2y-4=0的交点,且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为(　　)

A.x-y-1=0

B.x+y-3=0或x-2y=0

C.x-y-1=0或x-2y=0

D.x+y-3=0或x-y-1=0

答案C

解析由

解得

所以两直线的交点坐标为(2,1),

因为直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,

①当直线l与坐标轴的截距不为0时,可设直线l的方程为x-y=a,直线l过两直线的交点,所以把(2,1)代入x-y=a,得a=1,则直线l的方程为x-y=1,即x-y-1=0;

②当直线l与两坐标的截距等于0时,设直线l的方程为y=kx,直线l过两直线的交点,所以把(2,1)代入y=kx,得k=,所以直线l的方程为y=x,即x-2y=0.

综合①②,直线l的方程为x-y-1=0或x-2y=0.

故选C.

10.若点A(2,-3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点,则相异两点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是(　　)

A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0

C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0

答案A

解析∵A(2,-3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点,

∴2a1-3b1+1=0,且2a2-3b2+1=0,

∴两点(a1,b1)和(a2,b2)都在同一条直线2x-3y+1=0上,

故点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是2x-3y+1=0,

故选A.

11.(多选题)两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值为(　　)

A.-24 B.6 C.-6 D.0

答案BC

解析因为两条直线2x+3y-m=0和x-my+12=0的交点在y轴上,设交点为(0,b),

所以消去b,

可得m=±6.故选BC.

12.(多选题)已知三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0交于一点,则坐标(m,n)可能是(　　)

A.(1,-3) B.(3,-4) 

C.(-3,1) D.(-4,3)

答案AB

解析由由三条直线相交于一点,可知m×1+n×2+5=0,即m+2n+5=0,结合选项可知AB正确.

13.经过两直线11x+3y-7=0和12x+y-19=0的交点,且与A(3,-2),B(-1,6)等距离的直线的方程是　　　　　　　. 

答案7x+y-9=0或2x+y+1=0

解析直线11x+3y-7=0和直线12x+y-19=0的交点坐标是(2,-5),线段AB的中点为(1,2),当所求直线过线段AB的中点时,所求方程是7x+y-9=0;直线AB的斜率是-2,当所求直线与直线AB平行时,所求直线的方程是2x+y+1=0.故所求直线方程是7x+y-9=0或2x+y+1=0.

14.(2020银川一中高二月考)已知直线l:x+y-2=0,一束光线从点P(0,1+)以120°的倾斜角投射到直线l上,经l反射,则反射光线所在的直线方程为　　　　　　　. 

答案x+y-(1+)=0

解析如图,设入射光线与l交于点Q,反射光线与x轴交于点P',

由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为-,

又入射光线过点P(0,1+),

∴入射光线所在的直线方程为y-(1+)=-x,即x+y-(1+)=0.

解方程组所以点Q的坐标为(1,1).

过点Q作垂直于l的直线l',显然l'的方程为y=x.

由反射原理知,点P(0,1+)关于l'的对称点P'(1+,0)必在反射光线所在的直线上.

所以反射光线所在直线P'Q的方程为,即x+y-(1+)=0.

15.在△ABC中,BC边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0,角A的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2).

(1)求点A的坐标;

(2)求直线BC的方程;

(3)求点C的坐标.

解(1)直线x-2y+1=0和直线y=0的交点是(-1,0),即点A的坐标为(-1,0).

(2)∵直线x-2y+1=0为BC边上的高,由垂直关系得kBC=-2,

∴直线BC的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.

(3)∵角A的平分线所在直线的方程为y=0,A(-1,0),B(1,2),∴kAC=-kAB=-1,

设点C的坐标为(a,b),则=-1,=-2,解得a=5,b=-6,即点C的坐标为(5,-6).

新情境创新练

16.在△ABC中,AD,BE,CF分别为边BC,AC,AB上的高,求证:AD,BE,CF三线共点.

解建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),B(b,0),C(0,c),F(0,0),

则直线CF的方程为x=0.

由直线的截距式方程可得直线AC的方程为=1,即cx+ay-ac=0.

同理,可得直线BC的方程为cx+by-bc=0.

由于AD为BC边上的高,则直线AD的斜率为,由直线的点斜式方程可得直线AD的方程为y=(x-a).

同理,得直线BE的方程为y=(x-b).

设直线CF和直线AD交于点O,

由得点O的坐标为0,-.

又O点坐标也满足直线BE的方程,所以直线BE也过点O.所以AD,BE,CF三线共点.