高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点同步练习题

第二章圆锥曲线

§4　直线与圆锥曲线的位置关系

4.1　直线与圆锥曲线的交点

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

答案C

2.椭圆=1(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为 (　　)

A. B.-1 C. D.-1

答案D

解析由题意,直线y=2x与椭圆的一个交点的纵坐标为2c,

将其代入=1,得=1,

即e2+=1,

所以e=-1,另外的根不合题意,舍去.

3.以F1(-,0),F2(,0)为焦点的椭圆与直线x-y+2=0有公共点,则满足条件的椭圆中长轴最短的为 (　　)

A.=1 B.+y2=1

C.=1 D.=1

答案C

4.已知直线l:y=mx-4和抛物线C:y2=8x,若l与C有且只有一个公共点,则实数m的值为　　　　. 

答案0或-

解析当斜率m=0时,直线l:y=mx-4平行于x轴,与抛物线y2=8x仅有一个公共点.

当斜率不等于0时,把y=mx-4代入抛物线y2=8x,得m2x2+(-8m-8)x+16=0,

由题意可得,此方程有唯一解,

则判别式Δ=(-8m-8)2-4×16m2=0,解得m=-.综上所述,m=0或-.

等级考提升练

5.抛物线y2=2px与直线ax+y-4=0交于A,B两点,其中点A的坐标是(1,2).若抛物线的焦点为F,则|FA|+|FB|等于(　　)

A.5 B.6 C.3 D.7

答案D

解析将点A(1,2)的坐标代入抛物线y2=2px与直线ax+y-4=0,

得a=p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,直线的方程为2x+y-4=0,

联立

所以B(4,-4).又抛物线的准线x=-1,

结合抛物线的定义可得,

|FA|+|FB|=[1-(-1)]+[4-(-1)]=7.

故选D.

6.已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:=1(b>0)总有公共点,则椭圆C的离心率取值范围是(　　)

A.0, B.0, C.0, D.0,

答案D

解析因为椭圆焦点在x轴上,所以b2<4,因为b>0,

所以0<b<2;

因为直线y=kx-1与椭圆总有公共点,所以≤1,因为b>0,所以b≥1,综上1≤b<2,e=.

7.(多选题)若直线y=kx+2与抛物线y2=x只有一个公共点,则实数k的值可以为(　　)

A. B.0 C.8 D.-8

答案AB

解析联立得ky2-y+2=0,若k=0,直线与抛物线只有一个交点,则y=2;若k≠0,则Δ=1-8k=0,所以k=.综上可知k=0或.

8.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线l与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是(　　)

A.(-∞,-)∪(,+∞)

B.(2,+∞)

C.(-∞,-2)

D.(-)

答案A

9.经过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点,则该双曲线的离心率为　　　　. 

答案2

解析经过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点,所以根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线y=x平行,所以=tan60°=,即b=a,所以c==2a,故e==2.

10.已知直线y=kx+1与双曲线=1的右支交于两点,则实数k的取值范围为　　　　. 

答案-1,-

解析由题意联立直线与双曲线方程,得

⇒(3-4k2)x2-8kx-16=0,

由题意可知:⇒-1<k<-.

11.已知倾斜角为60°的直线过曲线C:y=2x2的焦点F,且与C相交于不同的两点A,B(A在第一象限),则|AF|=　　　　. 

答案

解析由曲线C:y=2x2,即x2=y得2p=,p=.

过A作AH垂直y轴于点H,AA'垂直准线于A'点,Q为准线与y轴的交点,则|AF|=|AA'|=|QH|=|QF|+|FH|=+|AF|·sin60°,所以|AF|=.

新情境创新练

12.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点E(-2,0)的直线l与C相交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D.

(1)证明:直线BD经过点F;

(2)设=0,求直线l的方程.

(1)证明依题意,可设l的方程为x=my-2(m≠0).

联立得y2-8my+16=0,

则Δ=64m2-64>0,解得m>1或m<-1.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(x1,-y1),

∴y1+y2=8m,y1y2=16,

直线BD的方程为y-y2=·(x-x2),即y-y2=·x-.

令y=0,得x==2,所以直线BD经过点F.

(2)解由(1)知,x1+x2=(my1-2)+(my2-2)=8m2-4,x1x2==4.

∵=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),

∴=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4+16=32-16m2,故32-16m2=0,

解得m=±,

∴直线l的方程为x+y+2=0或x-y+2=0.