北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何4 向量在立体几何中的应用4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系当堂达标检测题

第三章空间向量与立体几何

§4　向量在立体几何中的应用

4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.若a=(2,3,m),b=(2n,6,8),且a,b为共线向量,则m+n的值为(　　)

A.7 B. 

C.6 D.8

答案C

解析由a,b为共线向量,知n≠0且,

解得m=4,n=2,则m+n=6.故选C.

2.已知直线l1的方向向量是a=(2,-2,x),直线l2的方向向量是b=(2,y,-2),若|a|=3,且l1⊥l2,则x-y的值是(　　)

A.-4或0 

B.4或1 

C.-4 

D.0

答案A

3.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点,E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有(　　)

A.B1E=EB B.B1E=2EB

C.B1E=EB D.E与B重合

答案A

解析以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),则=(0,1,-2),=(2,2,z),∵=0×2+1×2-2z=0,∴z=1,∴B1E=EB.

4.设u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量.若α⊥β,则t等于(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

答案C

解析∵α⊥β,∴u·v=-2×6+2×(-4)+4t=0,∴t=5.

5.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n1=(2,-3,1),向量=(1,0,-2),=(1,1,1),则(　　)

A.平面α∥平面ABC

B.平面α⊥平面ABC

C.平面α、平面ABC相交但不垂直

D.以上均有可能

答案A

解析∵n1·=2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,n1·=2×1-3×1+1×1=0,

∴n1⊥,n1⊥,∵AB∩AC=A,∴n1也为平面ABC的一个法向量,

又平面α与平面ABC不重合,∴平面α与平面ABC平行,故选A.

6.已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,.则VA与平面PMN的位置关系是　　　　　. 

答案平行

解析如图,设=a,=b,=c,则=a+c-b,

由题意知b-c,

a-b+c.

因此,

所以共面.

又VA⊄平面PMN,所以VA∥平面PMN.

7.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=　　　　　. 

答案

解析由条件得

解得x=,y=-,z=4,∴x+y=.

8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.

(1)证明:AC⊥BC1;

(2)证明:AC1∥平面CDB1.

证明由题得△ABC为直角三角形,AC⊥BC.

所以AC,BC,C1C两两垂直.

如图,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,4,4),D.

(1)因为=(-3,0,0),=(0,-4,4),

所以=0,所以AC⊥BC1.

(2)设CB1与C1B的交点为E,连接DE,则E(0,2,2),=(-3,0,4),

所以,DE∥AC1.

因为DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,

所以AC1∥平面CDB1.

9.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:

(1)MN∥平面A1B1C1;

(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.

证明由题意,知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点,分别以AA1,AB,AC所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方形AA1C1C的边长为2,

则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).

(1)由题意知AA1⊥A1B1,AA1⊥A1C1,

又A1B1∩A1C1=A1,A1B1,A1C1⊂平面A1B1C1,

所以AA1⊥平面A1B1C1.

因为=(2,0,0),=(0,1,1),

所以=0,即MN⊥AA1.

又MN⊄平面A1B1C1,

故MN∥平面A1B1C1.

(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).

因为=(-1,2,0),=(1,0,2),

所以

令x1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=(2,1,-1).

同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1).

因为n1·n2=2×0+1×1+(-1)×1=0,

所以n1⊥n2,所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.

等级考提升练

10.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为(　　)

A.8 B.4 C.8 D.

答案D

解析以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图.

则P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0),

设M(4,a,b)(a,b∈[0,4]),

则=(4,a,b-4),=(4,-4,2).

∵D1M⊥CP,

∴=16-4a+2b-8=0,得b=2a-4,

∴M(4,a,2a-4),

∴|BM|=

=,

当a=时,|BM|取最小值,又BC=4,且BC⊥BM,

∴△BCM面积的最小值为×4×.故选D.

11.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m等于(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案B

解析因为l1⊥l2,所以a⊥b,则a·b=-2+6-2m=4-2m=0,解得m=2.故选B.

12.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(　　)

A.α∥β

B.α⊥β

C.α,β相交但不垂直

D.以上均不正确

答案C

13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则 (　　)

A.EF至多与A1D,AC之一垂直

B.EF⊥A1D,EF⊥AC

C.EF与BD1相交

D.EF与BD1异面

答案B

解析建立以D为坐标原点分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则=(1,0,1),=(-1,1,0),E,0,,F,0,=,-,∴=0,=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.又=(-1,-1,1),∴=-3,即EF与BD1平行.

14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(　　)

A.AC B.BD C.A1D D.A1A

答案B

解析

如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.

设正方体的棱长为2,则C(0,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0),E(1,1,2),A(2,0,0),B(2,2,0),=(1,-1,2),=(-2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,-2),=(0,0,2),=-2-2+0=-4≠0,所以CE与AC不垂直,=1×2+(-1)×2+2×0=0,所以CE⊥BD.

15.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若E,F分别为PB,AD的中点,则直线EF与平面PBC的位置关系是　　　　　. 

答案垂直

解析以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E,F,0,0,∴=0,-,-,=(1,1,-1),=(0,-1,1),设平面PBC的一个法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,即取y=1,则z=1,x=0,∴n=(0,1,1).

∵=-n,∴∥n,∴EF⊥平面PBC.

16.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于　　　　　. 

答案2

解析以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),设Q(1,x,0),P(0,0,z),=(1,x,-z),=(-1,a-x,0).

由=0,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.当Δ=a2-4=0,即当a=2时,点Q只有一个.

17.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD.

(1)求证:CD⊥平面PAC;

(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.

解因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.

又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,

所以PA⊥底面ABCD,∠BAD=90°,

所以AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).

(1)证明:=(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),

可得=0,=0,

所以AP⊥CD,AC⊥CD.

又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.

(2)设侧棱PA的中点是E,

则E0,0,,=-1,0,.

设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),

则因为=(-1,1,0),=(0,2,-1),所以

取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).

又n·=(1,1,2)·-1,0,=0,

所以n⊥.

因为BE⊄平面PCD,所以BE∥平面PCD.

综上所述,当E为PA的中点时,BE∥平面PCD.

新情境创新练

18.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是(　　)

A.当Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD

B.当Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD

C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD

D.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD

答案D

解析以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D,P(0,2,0),

则=(1,0,1),=(-1,2,0),.

设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),

则

取z=-2,则x=2,y=1,

所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).

假设DQ⊥平面A1BD,

且=λ=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),

则.

因为也是平面A1BD的一个法向量,

所以n=(2,1,-2)与=1-λ,-1+2λ,-共线,

则成立,

所以

但此关于λ的方程组无解.

故不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD.故选D.