高中数学1.6 平面直角坐标系中的距离公式第2课时同步达标检测题

第三章空间向量与立体几何

§4　向量在立体几何中的应用

4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系

第2课时　空间中的距离问题

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于(　　)

A.4 B.2 C.3 D.1

答案B

解析点P到平面OAB的距离为d==2.

2.已知直线l过点A(1,-1,2),和l垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则点P(3,5,0)到l的距离为(　　)

A. B.2 C.3 D.

答案A

3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为              (　　)

A.2 B. C. D.1

答案D

解析如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(0,2,),=(2,2,0),=(0,2,),易知AC1∥平面BED.

设n=(x,y,z)是平面BED的法向量.

则

取y=1,则n=(-1,1,-)为平面BED的一个法向量.

又=(2,0,0),

所以点A到平面BDE的距离是d==1.

故直线AC1到平面BED的距离为1.

4.

如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,∠BAC=30°,圆锥的母线与底面成的角为60°,则点A到平面PBC的距离为              (　　)

A. B.2 

C. D.

答案C

解析如图,过点O作AB的垂线Ox,以Ox,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-2,2,0),P(0,0,4),=(2,2,0),=(0,-4,4).

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),

则所以

取y=,所以m=(-1,,1).

因为=(0,4,4),

所以d=,

所以点A到平面PBC的距离为.

5.若O为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)

A. B.2 C. D.

答案D

解析∵)=(4,3,6)==(0,1,0),

∴,

∴||=.

6.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为　　　　　. 

答案

解析如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),

∴=(3,0,-1),

=(-3,4,0),

∴点P到直线BD的距离

d=,

∴点P到直线BD的距离为.

7.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为　　　　　. 

答案

解析如图所示,建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,),B1(0,1,),C1(0,0,),

∴=(-1,1,-),=(-1,0,-),=(-1,1,0).

设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),

则

令z=1,得x=-,y=0,

∴n=(-,0,1).

∴点B1到平面A1BC的距离d=.

8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.

解以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),

=(0,1,-1),=(-1,0,-1),=(-1,0,0).

设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),

则

则

令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1),

∴点D1到平面A1BD的距离

d=.

易证平面A1BD∥平面B1CD1,

∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,

∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.

9.

已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.

(1)求点D到平面PEF的距离;

(2)求直线AC到平面PEF的距离.

解(1)建立如图所示空间直角坐标系,

则P(0,0,1),A(1,0,0),

C(0,1,0),E,

F,D(0,0,0),

所以,

,

设平面PEF的法向量n=(x,y,z),

则

令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),

所以点D到平面PEF的距离d=,

因此点D到平面PEF的距离为.

(2)因为E,F分别为AB,BC的中点,

所以EF∥AC.

又因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF,

所以AC∥平面PEF.

因为,所以点A到平面PEF的距离d=.

所以直线AC到平面PEF的距离为.

等级考提升练

10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为(　　)

A. B.

C. D.1

答案B

解析以C为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(图略),则F(4,2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B(0,4,0),∴=(2,0,0),=(-2,2,0),=(-2,-4,2).

设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),

则

令x=1,则y=1,z=3,则m=(1,1,3),

∴点B到平面EFG的距离d=.

11.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外的点P(-2,1,4)到平面α的距离为(　　)

A.10 B.3

C. D.

答案D

解析由题意可知=(1,2,-4).

设点P到平面α的距离为h,则h=.

12.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是(　　)

A. B. C. D.

答案A

解析建立如图所示的空间直角坐标系,

则D(0,0,0),M,B(a,a,0),A1(a,0,a),

∴=(a,a,0),=(a,0,a).

设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),

则

令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).

∴点A1到平面MBD的距离d=.

13.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为(　　)

A. B.1

C. D.2

答案A

解析∵A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),

∴=(1,0,0),=(-1,2,-2),

∴点A到直线BC的距离为

d=

=.故选A.

14.已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为　　　　　. 

答案

解析设平面ABC的法向量n=(x,y,z),

则

即

∴可取n=.

又=(-7,-7,7),

∴点D到平面ABC的距离d=.

15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1,则点B1到平面A1BC1的距离为　　　　　. 

答案

解析建立如图所示空间直角坐标系,

由已知,A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),

则=(0,2,-1),=(-1,2,0).

设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),

则

取x=2,则n=(2,1,2).

又=(0,0,1),故d=.

16.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=BC=AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CF⊥PC.

(1)求点A到平面PCF的距离;

(2)求直线AD到平面PBC的距离.

解(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系,如图所示.

则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).设F(0,m,0),

则=(-a,m-a,0),=(-a,-a,a).

∵PC⊥CF,∴,

∴=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0·a=a2-a(m-a)=0,

∴m=2a,即F(0,2a,0).

设平面PCF的法向量为n=(x,y,z),

则

取x=1,得n=(1,1,2).

设点A到平面PCF的距离为d,由=(a,a,0),

得d=a.

(2)由于=(-a,0,a),=(0,a,0),=(0,0,a).

设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0),

由

取x0=1,得n1=(1,0,1).

设点A到平面PBC的距离为h,

∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,

∴AD∥平面PBC,∴h为AD到平面PBC的距离,∴h=a.

新情境创新练

17.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

解取AD的中点O,在△PAD中,

∵PA=PD,∴PO⊥AD.

又侧面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.

建立如图所示的空间直角坐标系,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

则=(-1,0,1),=(-1,1,0).

假设存在点Q,使它到平面PCD的距离为,

设Q(0,y,0)(-1≤y≤1),则=(-1,y,0).

设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),

则

即x0=y0=z0,取x0=1,

则平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

∴点Q到平面PCD的距离d=,∴y=-或y=(舍去).

此时,

则||=,||=.

∴存在点Q满足题意,此时.