北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 二项式定理的推导当堂检测题

第五章计数原理

§4　二项式定理

4.1　二项式定理的推导

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(x+2)6的展开式中x3的系数是(　　)

A.20 B.40 C.80 D.160

答案D

解析设含x3的项为第k+1项,则Tk+1=·x6-k·2k,令6-k=3,得k=3,故展开式中x3的系数为×23=160.

2.二项式的展开式的常数项是(　　)

A.7 B.14 C. D.

答案A

解析该二项式的通项为Tk+1=.令=0,解得k=2,所以所求常数项为=7.

3.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是(　　)

A.840 B.-840 C.210 D.-210

答案A

解析在二项式通项Tk+1=(-y)kx10-k中,令k=4,即得(x-y)10的展开式中x6y4项的系数为·(-)4=840.

4.(1-)20的二项展开式中,x的系数与x9的系数之差为(　　)

A.190 B.380 C.-190 D.0

答案D

解析(1-)20的二项展开式的通项为Tk+1=(-1)k,x的系数为=190,x9的系数为=190,所以它们的差为0.

5.在的展开式中,x2的系数为　　　　　. 

答案

解析的展开式的通项Tk+1=x5-k,令5-k=2,得k=2,所以x2的系数为.

6.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为　　　　　(用数字作答). 

答案-20

解析x2y7=x·(xy7),其系数为,

x2y7=y·(x2y6),其系数为-,

∴x2y7的系数为=8-28=-20.

7.的展开式中,常数项的值为　　　　　. 

答案

8.求证:32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.

证明32n+2-8n-9

=(8+1)n+1-8n-9

=8n+1+8n+…+-8n-9

=8n+1+8n+…+82+·8+1-8n-9

=8n+1+8n+…+82.

该式每一项都含因式82,故能被64整除.

9.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3,求展开式中的常数项.

解T5=)n-424x-8=16,

T3=)n-222x-4=4.

由题意知,,解得n=10.

原二项式的通项为Tk+1=)10-k2kx-2k=2k,

令=0,解得k=2,

∴展开式中的常数项为22=180.

等级考提升练

10.(2020河南郑州期中)已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8等于(　　)

A.180 B.-180 

C.45 D.-45

答案A

解析a8=·22=180.

11.(2020河北保定期中)若(1+3x)n(n∈N+)的展开式中,第3项的二项式系数为6,则第4项的系数为 (　　)

A.4 B.27 

C.36 D.108

答案D

解析(1+3x)n展开式的第k+1项为Tk+1=(3x)k,由=6,得n=4,从而T4=(3x)3,故第4项的系数为×33=108.

12.(2020山西太原一中月考)(x-2y)6的展开式中,x4y2的系数为(　　)

A.15 B.-15 

C.60 D.-60

答案C

解析(x-2y)6展开式的第k+1项为Tk+1=x6-k(-2y)k,令k=2,则x4y2的系数为(-2)2=60.

13.(1+3x)n(其中n∈N+,且n≥6)的展开式中,若x5与x6的系数相等,则n等于(　　)

A.6 

B.7 

C.8 

D.9

答案B

解析二项式(1+3x)n的通项是Tk+1=(3x)k=3kxk,依题意得35·=36·,即

=3×(n≥6),

解得n=7.

14.(多选题)若(2-x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则(　　)

A.a0=64

B.a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1

C.a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36

D.a3是a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6中的最大值

答案ABC

解析∵(2-x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,

∴令x=0,有26=a0=64,故选项A正确;

令x=1,有(2-1)6=1=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,故选项B正确;

令x=-1,有(2+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36,故选项C正确;

又a3=·23(-1)3<a0,故选项D错误.

故选ABC.

15.二项式的展开式中,x的系数是　. 

答案84

解析其展开式的通项为Tk+1=·x7-k·=2k··x7-3k,

令7-3k=1,得k=2,

故含x项为22··x=84x,

即其展开式中x的系数是84.

16.设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)的位置如图所示,则a=　　　　　. 

答案3

解析由题意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4).

故a0=1,a1=3,a2=4.

由的展开式的通项知

Tk+1=(k=0,1,2,…,n).

故=3,=4,解得a=3.

17.(1)求多项式的展开式;

(2)求(1+x)2·(1-x)5的展开式中x3的系数.

解(1)∵x2+-2=x2-2+,

∴

=x6+x5x4x3x2

=x6-6x4+15x2-20+.

(2)∵(1+x)2的通项Tr+1=·xr,

(1-x)5的通项Tk+1=(-1)k··xk,

∴(1+x)2·(1-x)5的通项为(-1)k··xk+r,

其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5}.令k+r=3,

则有

故x3的系数为-=5.

新情境创新练

18.已知正实数m,若x10=a0+a1(m-x)+a2(m-x)2+…+a10(m-x)10,其中a8=180,则m的值为　　　　　. 

答案2

解析由x10=[m-(m-x)]10,[m-(m-x)]10的二项展开式的第9项为m2(-1)8·(m-x)8,

∴a8=m2(-1)8=180,

则m=±2.

又m>0,∴m=2.