北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程课后作业题

第二章圆锥曲线

§3　抛物线

3.1　抛物线及其标准方程

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是(　　)

A.2 B.1 C. D.

答案C

解析抛物线y=2x2化为x2=y,

∴焦点到准线的距离为.

2.抛物线y=-4x2的焦点坐标为(　　)

A.(0,-1) B.0,-

C.0,- D.-,0

答案B

3.若动点P与定点F(1,1)和直线l:3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.双曲线 

C.抛物线 D.直线

答案D

4.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为(　　)

A.(-1,0) 

B.(1,0)

C.(0,-1) 

D.(0,1)

答案B

解析抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,

由题设知-=-1,即p=2,

故焦点坐标为(1,0).故选B.

5.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为(　　)

A.y2=x或x2=-8y

B.y2=x或y2=8x

C.y2=-8x

D.x2=-8y

答案A

解析因为点P在第四象限,所以抛物线开口向右或向下.

当开口向右时,设抛物线方程为y2=2p1x(p1>0),

则(-2)2=8p1,所以p1=,

所以抛物线方程为y2=x.

当开口向下时,设抛物线方程为x2=-2p2y(p2>0),则42=4p2,p2=4,

所以抛物线方程为x2=-8y.

综上可得,抛物线方程为x2=-8y或y2=x.

6.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于(　　)

A.4 

B.2 

C.1 

D.8

答案C

解析∵x0=x0+,

∴x0=1.

7.已知双曲线-y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点,则m=　　　　. 

答案3

解析由题意得m+1=22,解得m=3.

8.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　. 

答案9

解析抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1.由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM+1=10,解得xM=9,所以点M到y轴的距离为9.

9.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.

(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;

(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.

解(1)双曲线方程可化为=1,左顶点为(-3,0),

由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3,

∴p=6,∴抛物线的方程为y2=-12x.

(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2px(p≠0),A(m,-3),

由抛物线定义得5=|AF|=m+.

又(-3)2=2pm,∴p=±1或p=±9,

故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.

等级考提升练

10.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为(　　)

A.抛物线 B.双曲线

C.椭圆 D.圆

答案A

解析设圆C的半径为r,则圆心C到直线y=0的距离为r,由两圆外切可得,圆心C到点(0,3)的距离为r+1,所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y=-1的距离相等,符合抛物线的特征,故点C的轨迹是抛物线.

11.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5,则△PFO的面积为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案B

解析由题意,知抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1.因为抛物线y2=4x上的一点P到焦点的距离为5,由抛物线的定义可知,点P到准线x=-1的距离是5,则点P到y轴的距离是4,所以P(4,±4),所以△PFO的面积为×1×4=2.

12.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)

A.2 B.3

C. D.

答案A

解析如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为到点F的距离,由图可知,距离和的最小值,即点F到直线l1的距离d==2.

13.(多选题)对抛物线y=x2,下列描述正确的是 (　　)

A.开口向上,焦点为(0,2)

B.开口向右,准线方程为x=-

C.开口向右,焦点为

D.开口向上,准线方程为y=-2

答案AD

解析抛物线化成标准方程形式x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.

14.(多选题)已知抛物线的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的标准方程为(　　)

A.y2=8x

B.y2=-16x

C.y2=-8x

D.y2=16x

答案AB

解析由准线平行于y轴,可设抛物线的方程为y2=mx(m≠0).

当m>0时,2p=m,所以p=,抛物线的准线方程为x=-,

依题意得1--=3,所以m=8,所以抛物线的方程为y2=8x;

当m<0时,2p=-m,所以p=-,抛物线的准线方程为x=-,

依题意得1+=3,所以m=8或m=-16,显然m=8>0不符合此种情况,

所以m=-16,所以抛物线的方程为y2=-16x.

15.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线=1的右焦点重合,则实数p的值为　　　　. 

答案6

解析因为双曲线=1的右焦点为(3,0),所以=3,p=6.

16.若双曲线=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则m=　　　　. 

答案6

解析抛物线的焦点为(3,0),则=3,且m>0,故m=6.

17.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.

解(方法一)由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,

由于点F(1,0)到y轴的距离为1,

故当x<0时,直线y=0上的点适合条件;

当x≥0时,原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,

故点P的轨迹是以F为焦点,x=-1为准线的抛物线,方程为y2=4x.

故所求动点P的轨迹方程为y2=

(方法二)设点P的坐标为(x,y),

则有=|x|+1,

两边平方并化简得y2=2x+2|x|.

∴y2=

即动点P的轨迹方程为y2=

新情境创新练

18.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.

解(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,故x1+x2=.

由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.

故抛物线的方程为y2=8x.

(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,

则y1=-2,y2=4.

故A(1,-2),B(4,4).

设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(1+4λ,-2+4λ),

又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),

可得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.