高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质练习

第二章圆锥曲线

§2　双曲线

2.2　双曲线的简单几何性质

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.已知双曲线=1(a>0)的右焦点为(3,0),则双曲线的离心率等于(　　)

A. B. C. D.

答案C

解析由题意知a2+5=9,解得a=2,e=.

2.双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)

A. B. C.1 D.

答案B

解析双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,顶点坐标为(1,0),(-1,0),故顶点到渐近线的距离为.

3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±x

C.y=±x D.y=±x

答案C

解析已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,故有,所以,解得.

故双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选C.

4.已知双曲线C:=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则双曲线C的方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

答案A

解析双曲线C的渐近线方程为y=±x,点P(2,1)在渐近线y=x上,∴=1,即a2=4b2,又a2+b2=c2=25,解得b2=5,a2=20.故选A.

5.如图,双曲线C:=1的左焦点为F1,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则|P2F1|-|P1F1|的值是(　　)

A.3 B.4 C.6 D.8

答案C

解析设F2为右焦点,连接P2F2(图略),

由双曲线的对称性,知|P1F1|=|P2F2|,

所以|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=2×3=6.

6.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=　　　　. 

答案2

解析设B为双曲线的右焦点,如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2,

∴c=|OB|=2.

又∠AOB=,

∴=tan=1,即a=b.

又∵a2+b2=c2=8,∴a=2.

7.已知F为双曲线C:=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　. 

答案44

解析由双曲线C的方程,知a=3,b=4,c=5,

∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点,

且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16,点P,Q在双曲线的右支上,由双曲线的定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6.

∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28,

∴△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.

8.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;

(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.

解(1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.

由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,

于是有b2=c2-a2=62-32=27.

由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为=1或=1.

(2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),

即=1(λ≠0),由题意得a=3.

当λ>0时,=9,λ=36,

双曲线方程为=1;

当λ<0时,=9,λ=-81,

双曲线方程为=1.

故所求双曲线的标准方程为=1或=1.

等级考提升练

9.已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a=(　　)

A. B.4 C.2 D.

答案D

解析∵双曲线的离心率e=,c=,

∴,解得a=,故选D.

10.已知双曲线方程为x2-=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则l共有(　　)

A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

答案B

解析因为双曲线方程为x2-=1,则P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的直线共有3条.

11.过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|等于(　　)

A. B.2 C.6 D.4

答案D

解析由题意知,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,将x=c=2代入得y=±2,所以|AB|=4.

12.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)

A.3 B.2 C. D.

答案B

解析设椭圆与双曲线的标准方程分别为

=1(a>b>0),

=1(m>0,n>0),

因为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c,

所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1=,e2=,

由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,

即2m=a,所以=2.

13.若实数k满足0<k<9,则曲线=1与曲线=1的(　　)

A.焦距相同 B.实半轴长相等

C.虚半轴长相等 D.离心率相等

答案A

解析由于0<k<9,则9-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0),

故两曲线的焦距相同,故答案为A.

14.已知A,B是双曲线=1(a>0,b>0)的两个顶点,P为双曲线上(除顶点外)一点,若直线PA,PB的斜率乘积为,则双曲线的离心率e=　　　. 

答案

解析由题意,可得A(-a,0),B(a,0),设P(m,n),

∴kPA·kPB=.

∵点P是双曲线上的点,可得=1,化简整理得n2=.

∴kPA·kPB=.

∵直线PA,PB的斜率乘积为,

即kPA·kPB=,

∴,可得,即-1=,

∴,可得e=.

15.过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.

解如图所示,不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为,

又直线l过右焦点F(c,0),

则直线l的方程为y=(x-c).

因为点P的横坐标为2a,

代入双曲线方程得=1,

化简得y=-b或y=b(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-b),

代入直线方程得-b=(2a-c),

化简可得离心率e==2+.

新情境创新练

16.若在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是(　　)

A.e> B.1<e<

C.e>2 D.1<e<2

答案C

解析由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点F距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2.

17.已知椭圆C1:=1(a1>b1>0)与双曲线C2:=1(a2>0,b2>0)有相同的左、右焦点F1,F2,若点P是C1与C2在第一象限内的交点,且|F1F2|=4|PF2|,设C1与C2的离心率分别为e1,e2,则e2-e1的取值范围是(　　)

A. 

B.

C. 

D.

答案B

解析设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义可得m+n=2a1,由双曲线的定义可得m-n=2a2,

解得m=a1+a2,n=a1-a2,

由|F1F2|=4|PF2|,

可得n=c,即a1-a2=c,

由e1=,e2=,可得,

由0<e1<1,可得>1,

可得,即1<e2<2,

则e2-e1=e2-,

可设2+e2=t(3<t<4),

则=t+-4,

由于函数f(t)=t+-4在3<t<4递增,

所以f(t)∈,即e2-e1∈.