高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响第1课时课后复习题

课后素养落实(八)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．将函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为(　　)

A．y＝sin      B．y＝sin

C．y＝sin      D．y＝sin

A　[将y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin 的图象．]

2．已知简谐运动f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

A．T＝6π，φ＝     B．T＝6π，φ＝

C．T＝6，φ＝     D．T＝6，φ＝

C　[由题图知T＝2(4－1)＝6⇒ω＝，由图象过点(1，2)且A＝2，可得sin ＝1，又|φ|＜，得φ＝.]

3．要得到函数y＝cos (2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象(　　)

A．向左平移1个单位     B．向右平移1个单位

C．向左平移个单位     D．向右平移个单位

C　[因为y＝cos (2x＋1)＝cos 2，所以选C.]

4．将函数f＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)

A．    B．1    C．    D．2

D　[函数向右平移个单位得到函数

g(x)＝f＝sin ω＝sin ，

因为此时函数过点，

所以sin ω＝0，即ω＝＝kπ，

所以ω＝2k，k∈Z，且ω＞0，

所以ω的最小值为2，故选D.]

5．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin 的图象，则φ等于(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[依题意得y＝sin ＝sin ＝sin ，故将y＝sin x的图象向左平移个单位后得到y＝sin ＝sin 的图象．]

二、填空题

6．函数y＝A sin (ωx＋φ)的最小值是－3，周期为，且它的图象经过点，则这个函数的解析式是________．

y＝3sin 　[由已知得A＝3，T＝＝，

故ω＝6.

∴y＝3sin (6x＋φ).把代入，

得3sin φ＝－，sin φ＝－.又π＜φ＜2π，∴φ＝.

∴y＝3sin .]

7．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则f(x)＝________．

sin 　[由题图知A＝1，T＝4×＝π，∴ω＝2.

又2× ＋φ＝π，∴φ＝，∴f(x)＝sin .]

8．已知函数f＝2sin ，将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x1)g(x2)＝9，则|x1－x2|的值可以是________(答案不唯一，写出一个即可).

(答案不唯一)　[将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则所得图象对应的解析式为y＝2sin ，再将所得的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数g＝2sin ＋1的图象，则函数g(x)的值域为[－1，3]，又g(x1)g(x2)＝9，所以g(x1)＝g(x2)＝g(x)max＝3，则|x1－x2|＝nT(n∈N，T为g(x)的最小正周期)，又T＝，故|x1－x2|＝(n∈N)，故可填.]

三、解答题

9．怎样由函数y＝sin x的图象变换得到y＝sin 的图象，试叙述这一过程．

[解]　由y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝sin 的图象有两种变化途径：

①y＝sin xy＝sin

y＝sin .

②y＝sin x

y＝sin 2xy＝sin .

10．已知曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.

(1)试求这条曲线的函数表达式；

(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．

[解]　(1)因为函数图象的一个最高点为，

所以A＝，x＝为其中一条对称轴，

因为最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点，所以＝－＝.

又T＝＝π，所以ω＝2，此时y＝f(x)＝sin (2x＋φ)，

又f＝，所以sin ＝1，即＋φ＝＋2kπ，即φ＝＋2kπ，k∈Z，

又φ∈，所以φ＝，

所以y＝sin .

(2)列出x，y的对应值表：

作图如下

11．函数f(x)＝－sin x在区间[0，2π]上的零点个数为(　　)

A．0    B．1    C．2    D．3

C　[在同一直角坐标系内，画出y＝及y＝sin x的图象，由图象可观察出交点个数为2.

]

12．(多选题)将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)

A．    B．    C．－    D．－

BC　[将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝sin [2(x＋)＋φ]＝sin (2x＋＋φ)的图象，因为此时函数为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝；当k＝－1时，φ＝－，故选BC.]

13.已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则f等于________．

－　[∵T＝－＝，∴T＝.

∴＝，即ω＝3.

又∵3× ＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，∴φ可取－.

∴f＝sin ＝sin ＝sin ＝－.]

14．某同学给出了以下论断：

①将y＝cos x的图象向右平移个单位，得到y＝sin x的图象；

②将y＝sin x的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin (x＋2)的图象；

③将y＝sin (－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin (－x－2)的图象；

④函数y＝sin 的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位而得到的．

其中正确的结论是________(填序号).

[答案]　①③

15．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x0，2)和(x0＋3π，－2).

(1)求f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后再将所得图象沿x轴正方向平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．写出函数y＝g(x)的解析式，并用“五点法”画出y＝g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．

[解]　(1)由已知，易知A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，

解得T＝6π，所以ω＝.

把(0，1)代入解析式y＝2sin ，得2sin φ＝1.

又|φ|＜，所以解得φ＝.

所以f(x)＝2sin .

(2)伸缩后的函数解析式为y＝2sin ，再平移，得g(x)＝2sin ＝2sin .

列表：

图象如图，