北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步6 简单几何体的再认识6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积一课一练

课后素养落实(五十一)　柱、锥、台的侧面展开与面积

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

A　[设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.

S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，＝＝.]

2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)

A．4π    B．3π    C．2π    D．π

C　[底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.]

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　)

A．1∶1    B．1∶    C．1∶    D．1∶2

C　[设正方体棱长为a，由题意知，三棱锥的各面都是正三角形，其表面积为4S△AB1D1＝4×a2＝2a2.正方体的表面积为6a2，∴三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为2a2∶6a2＝1∶.]

4．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)

A．7     B．6    C．5    D．3

A　[设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.]

5.如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为(　　)

A．5     B．

C．     D．＋1

B　[作BC中点E，连接SE，易知SE⊥BC.

设底面边长为a，则由底面周长为4，得

a＝1，SE＝＝，∴S侧＝4×××1＝.]

二、填空题

6．棱长都是3的三棱锥的侧面积S为________．

　[因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝3××32＝.]

7．若圆台的上、下底面半径和母线长的比为1∶4∶5，高为8，则其侧面积为________．

100π　[设圆台上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，设r＝k，R＝4k，l＝5k(k>0)，则(5k)2－(3k)2＝82，∴k＝2，从而r＝2，R＝8，l＝10，S侧＝π(2＋8)×10＝100π.]

8．一个圆锥的表面积为πa m2，且它的侧面展开图是一个半圆面，则圆锥的底面半径为________m.

　[设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则解得r＝.]

三、解答题

9．一个直角梯形ABCD的两底边长分别为AD＝2，BC＝5，高AB＝4，将其绕较长的底边旋转一周，求所得旋转体的表面积．

[解]　如图，作DM⊥BC于点M，则DM＝AB＝4，MC＝BC－AD＝5－2＝3.

在Rt△CMD中，CD＝＝＝5.

当梯形ABCD绕底边BC旋转一周后，得到同底的圆柱与圆锥的组合体，其中AB边形成圆柱的一个底面，AD边形成圆柱的侧面，CD边形成圆锥的侧面，将它们的面积分别设为S1，S2，S3，则所求旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3，即S＝π×42＋2π×4×2＋π×4×5＝16π＋16π＋20π＝52π.故所求旋转体的表面积是52π.

10．正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的侧面积．

[解]　如图，设PO＝3，PE是斜高，

∵S侧＝2S底，∴4××BC×PE＝2BC2，∴BC＝PE.

在Rt△POE中，PO＝3，OE＝BC＝PE.

∴9＋＝PE2，∴PE＝2.

∴S底＝BC2＝PE2＝(2)2＝12.

S侧＝2S底＝2×12＝24.

11．已知一个圆柱的底面半径和高分别为r和h，h<2πr，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[由题意可知2h＝2πr，∴h＝πr，则该圆柱的表面积与侧面积的比是＝＝＝，选A.]

12．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高是 cm.则三棱台的侧面积为(　　)

A．27 cm2     B． cm2

C． cm2     D． cm2

B　[如图，O1，O分别是上、下底面中心，则O1O＝(cm)，

连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，连接DD1，过D1作D1E⊥AD于点E.

在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝(cm)，

DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝××(6－3)＝ (cm)，

DD1＝＝＝ (cm)，

所以S正三棱台侧＝3×(c＋c′)·DD1＝ (cm2).]

13．长方体ABCD­A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，则其路程的最小值为________．

　[把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为、、.

由此可见图(2)是最短路线，其路程的最小值为.]

14．如图，底面为菱形的直棱柱ABCD­A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8，则棱柱的侧面积为________．

20　[设底面边长为x，高为h，则有AC＝，BD＝，

∵底面ABCD为菱形，∴AC与BD互相垂直平分，

∴x2＝＋＝，∴x＝，∴S侧＝4x·h＝4××h＝20.]

15．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱．

(1)求圆锥的侧面积．

(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．

[解]　(1)圆锥的母线长为＝2(cm)，

∴圆锥的侧面积S1＝π×2×2＝4 π(cm2).

(2)画出圆锥的轴截面如图所示：

设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知＝，

∴r＝，∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝(－x2＋6x)＝－[(x－3)2－9]，

∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm2.