必修 第二册3.2 半角公式同步训练题

课后素养落实(三十二)　半角公式

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．tan 15°等于(　　)

A．2－　 B．－

C．－     D．2＋

A　[tan 15°＝＝2－.]

2．sin x cos x＋sin2x可化为(　　)

A．sin＋  B．sin －

C．sin ＋  D．2sin ＋1

A　[原式＝sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋＝＋＝sin ＋.故选A.]

3．若α∈，则 － 等于(　　)

A．cos α－sin α  B．cos α＋sin α

C．－cos α＋sin α  D．－cos α－sin α

B　[∵α∈，∴sin α<0，cos α>0，则－＝－＝|cosα|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.]

4．已知sin α＋cos α＝，则2cos2－1＝(　　)

A．     B．

C．－     D．－

C　[∵sin α＋cos α＝，平方可得1＋sin 2α＝，可得sin 2α＝－.

2cos2－1＝cos＝sin 2α＝－.]

5．函数y＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别为(　　)

A．π，1     B．π，

C．2π，1     D．2π，

A　[∵y＝sin ＋cos ＝＋＝cos 2x，

∴该函数的最小正周期为π，最大值为1.]

二、填空题

6．设5π＜θ＜6π，cos ＝a，则sin 的值为________．

－　[sin2＝，∵θ∈(5π，6π)，

∴∈.

∴sin ＝－＝－.]

7．若3sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．

－　[∵3sin x－cos x＝2＝2sin ，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－.]

8．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．

π　[y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin ＋，所以该函数的最小正周期为π.]

三、解答题

9．化简：(0<α<π).

[解]　∵tan ＝，∴(1＋cos α)tan ＝sin α.

又∵cos ＝－sin α，且1－cos α＝2sin2，

∴原式＝＝＝－.

∵0<α<π，∴0<<，∴sin >0.

∴原式＝－2cos .

10．已知函数f(x)＝2sin x·cos x＋1－2sin2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值与最小值．

[解]　(1)因为f(x)＝sin2x＋cos 2x＝sin ，

所以f(x)的最小正周期为π.

(2)因为－≤x≤，

所以－≤2x＋≤.

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值；

当2x＋＝－，即x＝－时，

f(x)min＝f ＝sin ＋cos ＝－，

即f(x)的最小值为－.

11．(多选题)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同族函数”．给出下列函数，其中与函数f(x)＝sin x－cos x是“同族函数”的是(　　)

A．f(x)＝2sin x·cos x＋1

B．f(x)＝2sin

C．f(x)＝sin x＋cos x

D．f(x)＝sin 2x＋1

BC　[f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，

A式化简为f(x)＝sin 2x＋1，

C式化简为f(x)＝2sin ，

显然A中的周期、D中的振幅和周期与已知函数不符，B、C符合．]

12. 设函数f(x)＝sin －cos (x＋θ)(|θ|<)的图象关于y轴对称，则θ＝(　　)

A．－   B．

C．－   D．

A　[f(x)＝sin －cos ＝2sin ，

由题意可得f(0)＝2sin ＝±2，

即sin ＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，

∴θ＝＋kπ(k∈Z).

∵|θ|<，

∴k＝－1时，θ＝－.]

13. 函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．

1　[由题意可得f(x)＝－cos2x＋cosx＋

＝－(cos x－)2＋1.

∵x∈，∴cos x∈[0，1]. ∴当cos x＝，即x＝时，f(x)max＝1.]

14．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________．

　　[∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B＝(1＋cos2A＋1＋cos 2B)＝1＋(cos 2A＋cos 2B)

＝1＋cos (A＋B)cos (A－B)＝1＋cos cos (A－B)＝1－cos (A－B)，

∴当cos (A－B)＝－1时，原式取得最大值；

当cos (A－B)＝1时，原式取得最小值.]

15. 某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100 米，宽BC＝50 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．

(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；

(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取1.732，取1.414).

[解]　 (1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，

∠CHE＝x，∴HE＝.

在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90°，∠DFH＝x，

∴HF＝.

又∠EHF＝90°，∴EF＝，

∴三条路的全长(即△HEF的周长)L＝.

当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x＝；

当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x＝.

故此函数的定义域为.

(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．

由(1)得L＝，x∈，

设sin x＋cos x＝t，则sin x cos x＝，∴L＝＝.

由t＝sin x＋cos x＝sin ，x∈，得≤t≤，

从而＋1≤≤＋1，

当x＝，即CE＝50时，Lmin＝100(＋1)，

当CE＝DF＝50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元．