高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 柱、锥、台的体积当堂检测题

课后素养落实(五十二)　柱、锥、台的体积

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)

A．48    B．64    C．16    D．96

B　[设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.]

2．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是2，则这个长方体的体积是(　　)

A．6    B．12    C．24    D．48

D　[设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x(x>0)，又对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2，∴三条棱长分别为2、4、6，∴V长方体＝2×4×6＝48.]

3．已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大时，三棱锥D­ABC的体积等于(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大时，平面ADC与底面ABC垂直，此时棱锥的高为：，底面面积为：×1×1＝.所以三棱锥D­ABC的体积：××＝.故选A.]

4．已知圆锥的母线长为8，底面圆的周长为6π，则它的体积是(　　)

A．9π    B．9    C．3π    D．3

C　[设圆锥的底面圆的半径为r，高为h，则2πr＝6π，

∴r＝3.

∴h＝＝，

∴V＝π·r2·h＝3π.]

5．如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周所围成的几何体的体积为(　　)

A．π    B．π    C．π    D．2π

A　[由题意，知旋转而成的几何体是圆柱挖去一个圆锥，如图，

该几何体的体积为π×12×2－×π×12×1＝π.]

二、填空题

6．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A­DED1的体积为________．

　[V三棱锥A­DED1＝V三棱锥E­DD1A＝××1×1×1＝.]

7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．

π　[易知圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，∴r＝1，∴圆锥的高h＝＝，则圆锥的体积V＝πr2h＝π.]

8．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．

π　[设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，∴h＝，∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝π.]

三、解答题

9．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．

[解]　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.

10．如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.

[解]　在三棱锥A1­ABD中，AA1⊥平面ABD，

AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，

∵VA1­ABD＝VA­A1BD，∴×a2×a＝××a××a×d.

∴d＝a.

11．正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为(　　)

A．1    B．    C．3    D．

A　[在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝AB＝，S△DB1C1＝×2×＝.

又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，

∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1底面上的高．

∴V三棱锥A­B1DC1＝S△DB1C1·AD＝××＝1.]

12．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)

A．    B．    C．2π    D．4π

B　[绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××π××＝.]

13．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．

　[设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，则＝.

由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以＝＝＝.]

14．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________．

96　[用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC·AA′＝×24×8＝96.]

15．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．

[解]　以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．

设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，

则 ，

∴ ，

∵VD­ABE＝DE·S△ABE＝V长方体，

同理，VC－ABF＝VD－ACG＝VD－BCH＝V长方体，

∴V四面体ABCD＝V长方体－4×V长方体＝V长方体．

而V长方体＝2×3×4＝24，

∴V四面体ABCD＝8.