北师大版 (2019)必修 第二册4.2 平面与平面平行第2课时课后测评

课后素养落实(四十六)　平面与平面平行的判定

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列四个说法中正确的是(　　)

A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β

B．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β

C．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β

D．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β

C　[由面面平行的判定定理知C正确．]

2．已知a、b表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是(　　)

A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b

B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β

C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

D　[A中α∩β＝a，b⊂α，a、b可能平行也可能相交；B中α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α，也可能b在平面α或β内；C中a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，若加上条件a∩b＝A，则α∥β.所以应选D.]

3.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是(　　)

A．平行　　 B．相交

C．异面     D．不确定

A　[∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.]

4．平面α与平面β平行的充分条件可以是(　　)

A．α内有无穷多条直线都与β平行

B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内

C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α

D．α内的任何一条直线都与β平行

D　[A选项，α内有无穷多条直线都与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；

B选项，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，直线a可以是平行平面α与平面β的相交直线，故不能保证平面α与平面β平行，故B错误；

C选项，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b，同样不能保证平面α与平面β平行，故C错误；

D选项，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，故平面α与平面β平行；故选D.]

5．六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有(　　)

A．1对     B．2对

C．3对     D．4对

D　[由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．]

二、填空题

6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________．

相交或平行　[b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．]

7.如图，已知在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．

平行　[在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.

同理可证EF∥平面ABC.

又DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.]

8．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．(填“平行”或“相交”)

平行　[若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，与已知矛盾．故α∥β.]

三、解答题

9.如图，在已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.

[证明]　因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

所以MQ∥AD，NQ∥BP.

因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，

所以NQ∥平面PBC.

又因为底面ABCD为平行四边形，

所以BC∥AD，所以MQ∥BC.

因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC，

又因为MQ∩NQ＝Q，

所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.

10．已知，点P是△ABC所在平面外一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心．

(1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC.

(2)求A′B′∶AB的值．

[解]　(1)证明：如图，连接PA′，并延长交BC于点M，连接PB′，并延长交AC于点N，连接PC′，并延长交AB于点Q，连接MN，NQ.

∵A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，

∴M，N，Q分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，

且＝＝2，∴A′B′∥MN.

同理可得B′C′∥NQ.

∵A′B′∥MN，MN⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC，

∴A′B′∥平面ABC.

同理可证B′C′∥平面ABC.

又∵A′B′∩B′C′＝B′，A′B′⊂平面A′B′C′，B′C′⊂平面A′B′C′，

∴平面A′B′C′∥平面ABC.

(2)由(1)知A′B′∥MN，且＝＝，即A′B′＝MN.

∵M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB.

∴A′B′＝MN＝×AB＝AB，

∴＝，即A′B′∶AB的值为.

11.如图，已知立方体ABCD­A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是(　　)

A．0     B．2

C．4     D．6

D　[连接EG，EH，EF，FG，GH，FH(图略)，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴E，F，G，H四点共面．

由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG，EH⊂平面EFGH，AB′，AD′⊂平面AB′D′，可得平面EFGH∥平面AB′D′.

故平面EFGH内的每条直线都符合条件．故选D.]

12．在正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　)

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

A　[画出相应的截面如图所示，即可得答案．

]

13.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．

①②③[作出立体图形如图所示，可知平面EFGH∥平面ABCD；PA∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．]

14．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．

2　[取正方体相邻三个面为α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①，若α与β相交，如图所示，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除③.容易证明②④都是正确的．]

15.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥P­ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？若存在，请证明你的结论，并说出点F的位置；若不存在，请说明理由．

[解]　当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.

因为FM⊄平面AEC，EC⊂平面AEC，

所以FM∥平面AEC.

由EM＝PE＝ED，得E为MD的中点，连接BM，BD，

设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．

连接OE，则BM∥OE.

因为BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，

所以BM∥平面AEC.

又因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，FM∩BM＝M，

所以平面BFM∥平面AEC，

所以平面BFM内的任何直线与平面AEC均没有公共点．

又BF⊂平面BFM，所以BF与平面AEC没有公共点，

所以BF∥平面AEC.