高中数学北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用练习

课后素养落实(二)　任意角

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列各组角中，终边相同的是(　　)

A．495°和－495°     B．1 350°和90°

C．－220°和140°     D．540°和－810°

C　[∵－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．]

2．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是(　　)

A．90°－α   B．90°＋α   C．360°－α   D．180°＋α

C　[∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，故选C.]

3．下列命题正确的是(　　)

A．终边在x轴非正半轴上的角是零角

B．第二象限角一定是钝角

C．第四象限角一定是负角

D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同

D　[终边在x轴非正半轴上的角为k·360°＋180°，k∈Z，零角为0°，所以A错误；

480°角为第二象限角，但不是钝角，所以B错误；

285°角为第四象限角，但不是负角，所以C错误，故选D.]

4．2 020°是(　　)

A．第一象限角     B．第二象限角

C．第三象限角     D．第四象限角

C　[2 020°＝5×360°＋220°，故2 020°是第三象限角．]

5．(多选题)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)

A．第一象限角     B．第二象限角

C．第三象限角     D．第四象限角

AC　[因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°＜2α＜k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°＜α＜k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°＜α＜n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°＜α＜n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角．故选A、C.]

二、填空题

6．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．

x轴的非负半轴上　[∵α、β终边相同，∴α＝k·360°＋β(k∈Z).

∴α－β＝k·360°，故α－β的终边会落在x轴非负半轴上．]

7．在－180°～360°范围内，与2000°角终边相同的角是________．

－160°，200°　[因为2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2000°角终边相同的角有－160°，200°两个．]

8．若α＝k·360°＋45°，k∈Z，则 是第________象限角．

一或三　[∵α＝k·360°＋45°，k∈Z，∴＝k·180°＋22.5°，k∈Z.

当k为偶数，即k＝2n，n∈Z时，

＝n·360°＋22.5°，n∈Z，∴为第一象限角；

当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，

＝n·360°＋202.5°，n∈Z，∴为第三象限角．

综上，是第一或第三象限角．]

三、解答题

9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′ ．

[解]　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．

(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．

(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．

10．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤ β＜－360°的角β.

[解]　与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．

令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；

令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；

令k＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．

故符合条件的角有－1 055°，－695°.

11．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　)

A．α＋β＝k·360°，k∈Z

B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z

C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z

D．α－β＝k·360°，k∈Z

B　[法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.

法二：(直接法)∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.]

12．集合M＝，N＝，则M、N之间的关系为(　　)

A．M＝N    B．M⊆N

C．M⊇N    D．M∩N＝∅

B　[对集合M来说，x＝(2k±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合N来说，x＝(k±2)·45°，即45°的倍数．]

13．已知角α＝－3000°，则与角α终边相同的最小正角是________．

240°　[∵－3000°＝－9×360°＋240°，

∴与－3000°角终边相同的最小正角为240°.]

14．集合中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号).

①　　　②　　　③　　　④

②　[集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围为图②所示．]

15.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．

[解]　根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.

又180°＜2θ＋45°＜270°，

即67.5°＜θ＜112.5°，

∴67.5°＜＜112.5°.

又k∈Z，∴k＝3或4，

∴所求的θ的值为或.

∵0°＜＜90°，90°＜＜180°，

∴θ在第一象限或第二象限．