北师大版 (2019)必修 第二册2.2 向量的减法综合训练题

课后素养落实(十四)　向量的减法

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在平行四边形ABCD中，－等于(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[－＝＝.]

2．下列等式中，正确的个数为(　　)

①0a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.

A．3    B．4    C．5    D．6

C　[根据相反向量的概念知①②③④⑤正确，所以正确的个数为5.故选C.]

3．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于(　　)

A．    B．    C．    D．

C　[由向量的减法的三角形法则得－＝.]

4．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)

A．－＝0     B．－＝

C．－＝   D．＋＝0

C　[∵＝，∴－＝0，A正确；

∵－＝＋＝，B正确；

∵－＝＋＝，C错误；

∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确．]

5．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　)

A．m－n＝0     B．m＋n＝0

C．|m|＝|n|     D．方向相反

A　[非零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|.]

二、填空题

6.＋－＝________．

　[＋－＝＋＝.]

7．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________．

　[－－＋＋＝－＋＝.]

8．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．

1　5　[当a与b方向相反时，|a＋b|取得最小值，其值为3－2＝1；这时|a－b|取得最大值，其值为3＋2＝5.]

三、解答题

9．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求向量a与a＋b的夹角．

[解]　设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a－b＝，

∵|a|＝|b|＝|a－b|，

∴||＝||＝||，

∴△OAB是等边三角形，∴∠BOA＝60°.

∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA.

∴a与a＋b的夹角为30°.

10．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？

[解]　由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，

同样，由向量的减法知＝－＝a－b.

当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；

当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；

当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．

11.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则(　　)

A．＋＋＝0

B．－＋＝0

C．＋－＝0

D．－－＝0

A　[＋＋＝＋＋＝(＋＋)＝0.]

12．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有(　　)

A．＝0     B．＝0或＝0

C．ABCD是矩形   D．ABCD是菱形

C　[＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，∴ABCD是矩形．]

13．边长为1的正△ABC中，|－|的值为________．

　[如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，

则－＝＋＝＋＝.

在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝，

∴|－|＝.]

14.如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________．

①；②；③；④－＋；⑤＋；⑥－；⑦＋.

①④　[因为四边形ACDF是平行四边形，

所以－＋＝＋＝，

－＋＝＋＋＝，

＋＝＋＝，－＝，

因为四边形ABDE是平行四边形，

所以＋＝，

综上知与－＋相等的向量是①④.]

15．如图，O是△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.

[证明]　作圆的直径BD，

连接DA、DC，则＝－，AD⊥AB，DC⊥BC，连接AH、CH，

因为H是△ABC的垂心，故有AH⊥BC，CH⊥AB.

∴CH∥AD，AH∥CD，

则四边形AHCD为平行四边形．

∴＝＝－＝＋，

∴＝＋＝＋＋.