2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）入学数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）入学数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）入学数学试卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{x|lg（x﹣1）≤0}，N＝{x||x|＜2}．则M∪N＝（　　）
A．∅ B．（1，2） C．（﹣2，2] D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）＝（2+i）i，则|z|＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，则f（x）＝（　　）
A．sin（﹣） B．sin（+）
C．sin（2x﹣） D．sin（2x+）
5．（5分）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）若，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（　　）
A．60种 B．78种 C．84种 D．144种
8．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（x），数列{an}满足a1＝﹣1，且an+1＝（1+）an+（n∈N*）．则f（a22）＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．21 D．22
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）设向量，满足||＝||＝1，且|﹣2|＝，则以下结论正确的是（　　）
A．⊥ B．|+|＝2 C．|﹣|＝ D．＜，＞＝60°
10．（5分）下列命题为真命题的是（　　）
A．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，10）其线性回归方程y＝﹣2bx+1，且x1+x2+x3+⋯+x10＝3（y1+y2+y3+⋯+y10）＝9，则系数的值是
B．从数字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2个数，则这2个数的和为奇数的概率为
C．已知样本数据x1，x2，⋯，xn的方差为4，则数据2x1+30，2x2+30，⋯2xn+30的标准差是4
D．已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X＜﹣1）＝0.3，则P（X＜2）＝0.7
11．（5分）以下四个命题表述正确的是（　　）
A．直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒过定点（﹣3，﹣3）
B．圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x﹣y+＝0的距离都等于1
C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4
D．已知圆C：x2+y2＝4，点P为直线+＝1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（1，2）
12．（5分）在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．点F的轨迹是一条线段
B．A1F与BE是异面直线
C．A1F与D1E不可能平行
D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x0）＝﹣2，则x0＝　 　．
14．（5分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为　 　．
15．（5分）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝　 　．
16．（5分）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：
第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1＝1，y1＝1，当k≥2时，，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）＝2，T（0.2）＝0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为　 　；第2008棵树种植点的坐标应为　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足：．
（Ⅰ）问数列{an}是否为等差数列或等比数列？说明理由；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c＝2bcosA．
（1）证明：B＝2A；
（2）设D为BC边上的中点，点E在AB边上，满足＝，且b＝a，四边形ACDE的面积为，求线段CE的长．
19．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，AA1＝A1B1＝AB，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若点M是AD的中点，求证：C1M⊥A1C；
（Ⅱ）棱BC上是否存在一点E，使得二面角E﹣AD1﹣D的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．

20．（12分）某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如表：
品牌
价格（元、件））
使用寿命（月）
甲
1000
7或8
乙
400
3或4
已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为．
（1）若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率；
（2）现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌（甲，乙两品牌轴承搭配使用）．试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？
21．（12分）已知椭圆C：的焦距与椭圆的焦距相等，且C经过抛物线的顶点．
（1）求C的方程；
（2）若直线y＝kx+m与C相交于A，B两点，且A，B关于直线l：x+ty+1＝0对称，O为C的对称中心，且△AOB的面积为，求k的值．
22．（12分）已知函数为自然对数的底数）．
（1）若函数f（x）在（，1）上有零点，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{x|lg（x﹣1）≤0}，N＝{x||x|＜2}．则M∪N＝（　　）
A．∅ B．（1，2） C．（﹣2，2] D．{﹣1，0，1，2}
【分析】求出集合M、N，由并集的定义计算可得答案．
【解答】解：根据题意，lg（x﹣1）≤0⇒0＜x﹣1≤1⇒1＜x≤2，
则集合M＝{x|lg（x﹣1）≤0}＝{x|1＜x≤2}，
|x|＜2⇒﹣2＜x＜2，则N＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，
则M∪N＝{x|﹣2＜x≤2}＝（﹣2，2]；
故选：C．
2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）＝（2+i）i，则|z|＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
【分析】先由等式表示出复数z，然后利用模的运算性质求解即可．
【解答】解：因为z（1﹣i）＝（2+i）i，
所以，
故．
故选：D．
3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由AD1∥BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理，求出直线PB与AD1所成的角．
【解答】解∵AD1∥BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则PB1＝PC1＝＝，BC1＝＝2，BP＝＝，
∴cos∠PBC1＝＝＝，
∴∠PBC1＝，
∴直线PB与AD1所成的角为．
故选：D．

4．（5分）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，则f（x）＝（　　）
A．sin（﹣） B．sin（+）
C．sin（2x﹣） D．sin（2x+）
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，得出结论．
【解答】解：∵把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，
∴把函数y＝sin（x﹣）的图像，向左平移个单位长度，
得到y＝sin（x+﹣）＝sin（x+）的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得f（x）＝sin（x+）的图像．
故选：B．
5．（5分）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设出|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由双曲线的定义可得m＝a，再通过∠F1PF2＝60°，由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率．
【解答】解：F1，F2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，|PF1|＝3|PF2|，
设|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2m＝2a，即m＝a，
所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因为∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，
所以4c2＝9a2+a2﹣2×3a×a×cos60°，整理得4c2＝7a2，
所以e＝＝．
故选：A．
6．（5分）若，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】运用三角函数的诱导公式，以及二倍角公式，即可求解．
【解答】解：∵＝，
．
故选：B．
7．（5分）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（　　）
A．60种 B．78种 C．84种 D．144种
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4四门选修课程为3组，②将分好的三组安排在三年内选修，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将4四门选修课程分为3组，
若分为2、1、1的三组，有C42＝6种分组方法，
若分为2、2、0的三组，有＝3种分组方法，
若分为3、1、0的三组，有C43＝4种分组方法
则一共有6+3+4＝13种分组方法，
②将分好的三组安排在三年内选修，有A33＝6种情况，
则有13×6＝78种选修方式，
故选：B．
8．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（x），数列{an}满足a1＝﹣1，且an+1＝（1+）an+（n∈N*）．则f（a22）＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．21 D．22
【分析】首先求出数列的周期，进一步利用关系式的变换和叠加法的应用求出结果．
【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（x），
整理得f[2﹣（x+2）]＝f（x+2）＝﹣f（x），
即f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）
故函数的最小正周期为4．
由于数列{an}满足a1＝﹣1，且an+1＝（1﹣）an+，
转换为，
故，
设，
故b22＝（b22﹣b21）+（b21﹣b20）+…+（b2﹣b1）+b1＝＝，
故a22＝20，
所以f（20）＝f（5×4）＝f（0）＝0．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）设向量，满足||＝||＝1，且|﹣2|＝，则以下结论正确的是（　　）
A．⊥ B．|+|＝2 C．|﹣|＝ D．＜，＞＝60°
【分析】由已知结合向量数量积的性质对各选项进行检验即可．
【解答】解：因为||＝||＝1，且|﹣2|＝，
所以＝5，
所以＝0，故，选项A正确；
因为＝＝2，
所以||＝，B错误；
因为（）2＝＝2，
所以||＝，C正确；
因为，
所以＝，D错误；
故选：AC．
10．（5分）下列命题为真命题的是（　　）
A．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，10）其线性回归方程y＝﹣2bx+1，且x1+x2+x3+⋯+x10＝3（y1+y2+y3+⋯+y10）＝9，则系数的值是
B．从数字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2个数，则这2个数的和为奇数的概率为
C．已知样本数据x1，x2，⋯，xn的方差为4，则数据2x1+30，2x2+30，⋯2xn+30的标准差是4
D．已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X＜﹣1）＝0.3，则P（X＜2）＝0.7
【分析】直接利用回归直线的方程的应用，排列数的应用和组合数的关系式，平均数和方差的关系，随机变量的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，10）其线性回归方程y＝﹣2bx+1，且x1+x2+x3+⋯+x10＝3（y1+y2+y3+⋯+y10）＝9，解得，，则系数的值是，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：已知样本数据x1，x2，⋯，xn的方差为4，则数据2x1+30，2x2+30，⋯2xn+30的方差为22×4＝16，故标准差为4，故C正确；
对于D：随机变量X～N（1，σ2），若P（X＜﹣1）＝P（x＞3）＝0.3，则P（X≤3）＝0.7，所以P（x＜2）＜0.7，故D错误；
故选：BC．
11．（5分）以下四个命题表述正确的是（　　）
A．直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒过定点（﹣3，﹣3）
B．圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x﹣y+＝0的距离都等于1
C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4
D．已知圆C：x2+y2＝4，点P为直线+＝1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（1，2）
【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．
【解答】解：对于A，直线方程可化为m（x+3）+3x+4y﹣3＝0，令x+3＝0，则3x+4y﹣3＝0，x＝﹣3，y＝3，所以直线恒过定点（﹣3，3），A错误；
对于B，因为圆心（0，0）到直线l：x﹣y+＝0的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线l：x﹣y+＝0的距离等于1，B正确；
对于C，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线C1：x2+y2+2x＝0化为标准式得，（x+1）2+y2＝1
曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0化为标准式得，（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20﹣m＞0
所以，圆心距为5，即1+＝5，解得m＝4，C正确；
对于D，设点P的坐标为（m，n），所以，，以OP为直径的圆的方程为x2+y2﹣mx﹣ny＝0，
两圆的方程作差得直线AB的方程为：mx+ny＝4，消去n得，m（x﹣）+2y﹣4＝0，
令x﹣＝0，2y﹣4＝0，解得x＝1，y＝2，故直线AB经过定点（1，2），D正确．
故选：BCD．
12．（5分）在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．点F的轨迹是一条线段
B．A1F与BE是异面直线
C．A1F与D1E不可能平行
D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值
【分析】由A1F与平面D1AE的垂线垂直，可得只需过A1作平面A1MN∥平面D1AE，根据面面平行的性质、正方体的性质，逐一判判即可．
【解答】解：如图，分别取线段BB1，B1C1的中点为M，N，连接A1M，MN，A1N，
因为正方体AC1，易得MN∥AD1，MN⊄面D1AE，AD1⊂面D1AE，所以MN∥面D1AE，
又A1M∥DE，A1M⊄面D1AE，D1E⊂面D1AE，
所以A1M∥D1AE，又MN∩A1M＝M，所以平面A1MN∥平面D1AE，
因为A1F与平面D1AE的垂线垂直，又A1F⊄ D1AE，
所以直线A1F与平面D1AE平行，所以A1F⊂面A1MN，
点F是侧面BCC1B1内的动点，且面A1MN∩面BCC1B1＝MN，
所以点F的轨迹为线段MN，故A正确；
对于B，由异面直线判定可知，A1F与BE是异面直线，故B正确；
对于C，当点F与点M重合时，直线A1F与直线D1E平行，故选项C错误；
对于D，因为MN∥AD1，MN⊄面ABD1，AD1⊂面ABD1，所以MN∥面ABD1，
则点F到平面ABD1的距离是定值，又三角形ABD1的面积是定值，
所以三棱锥F﹣ABD1的体积为定值，故选项D正确；
故选：ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x0）＝﹣2，则x0＝　4　．
【分析】根据题意，由函数的解析式分x0≤1与x0＞1两种情况讨论，求出x0的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，
当x0≤1时，f（x0）＝（x0﹣1）2＝﹣2，无解；
当x0＞1时，f（x0）＝x0＝﹣2，解可得x0＝4，符合题意，
故x0＝4，
故答案为：4．
14．（5分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为　　．
【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y＝x﹣2平行时，点P到直线y＝x﹣2的距离最小．
求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y＝x﹣2的距离即为所求．
【解答】解：点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y＝x﹣2平行时，
点P到直线y＝x﹣2的距离最小．
直线y＝x﹣2的斜率等于1，
令y＝x2﹣lnx的导数 y′＝2x﹣＝1，x＝1，或 x＝﹣（舍去），
故曲线y＝x2﹣lnx上和直线y＝x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y＝x﹣2的距离等于，
故点P到直线y＝x﹣2的最小距离为，
故答案为．
15．（5分）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝　6　．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，
可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，
|FN|＝2|FM|＝2＝6．
故答案为：6．
16．（5分）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：
第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1＝1，y1＝1，当k≥2时，，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）＝2，T（0.2）＝0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为　（1，2）　；第2008棵树种植点的坐标应为　（3，402）　．
【分析】根据规律找出种植点横坐标及纵坐标的通式，分别代入6和208即可求得种植点的坐标．
【解答】解：∵T[]﹣T[]组成的数列为
0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，
将k＝2，3，4，5，…，
一一代入计算得数列xn为
1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即xn的重复规律是x5n+1＝1，x5n+2＝2，x5n+3＝3，x5n+4＝4，x5n＝5．n∈N*．
数列{yn}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即yn的重复规律是y5n+k＝k，0≤k＜5．
∴由题意可知第6棵树种植点的坐标应为（1，2），
第2008棵树种植点的坐标应（3，402）．
故答案为（1，2）；（3，402）．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足：．
（Ⅰ）问数列{an}是否为等差数列或等比数列？说明理由；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（Ⅰ）由已知，求出a1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝8后容易判断出{an}既不为等差数列也不为等比数列．
（Ⅱ）（解法一）对任意正整数n，2n+1是偶数，得出，所以数列是首项为，公差为的等差数列，求出通项公式后再求出数列的通项公式（解法二）因为对任意正整数n，，得，
所以数列是每项均为0的常数列，即可得出数列的通项公式
（Ⅲ） （解法一）设数列{（n+1）qn}的前n项和为Tn，则当n∈N*，q≠1，q≠0时，Tn（q）＝2q+3q2+4q3+…+nqn﹣1+（n+1）qn，利用错位相消法求和．（Ⅱ）利用待定系数法得．
【解答】解：（Ⅰ），，，．…（3分）
因为a3﹣a2＝2，a4﹣a3＝3，a3﹣a2≠a4﹣a3，所以数列{an}不是等差数列．
又因为，所以数列{an}也不是等比数列．…（5分）
（Ⅱ）（解法一）因为对任意正整数n，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，…（7分）
从而对．
所以数列的通项公式是．…（9分）
（解法二）因为对任意正整数n，，
得，
所以数列是每项均为0的常数列，
从而对，
所以数列的通项公式是．…（7分），，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．…（9分）
（Ⅲ）∀n∈N*，n≥2，，也适合上式．
所以数列{bn}的通项公式为．…（11分）
（解法一）设数列{（n+1）qn}的前n项和为Tn，则当n∈N*，q≠1，q≠0时，Tn（q）＝2q+3q2+4q3+…+nqn﹣1+（n+1）qn，qTn（q）＝2q2+3q3+4q4+…+nqn+（n+1）qn+1，．…（12分）
∵，∴
∴．…（14分）
（解法二）利用待定系数法可得：对∀n∈N*，有，
（n+1）2n﹣3＝2n×2n﹣3﹣2（n﹣1）2n﹣4，…（12分）
从而，，…（13分）
所以．…（14分）
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c＝2bcosA．
（1）证明：B＝2A；
（2）设D为BC边上的中点，点E在AB边上，满足＝，且b＝a，四边形ACDE的面积为，求线段CE的长．
【分析】（1）由a+c＝2bcosA，利用正弦定理可得：sinA+sinC＝2sinBcosA，又sinC＝sin（B+A），结合和差公式及其A，B∈（0，π），即可证明结论．
（2）由•＝•，可得•＝0，DE⊥AB．△ABC中，由正弦定理可得：＝＝＝，可得化简可得A，B，C，利用面积计算公式、余弦定理即可得出．
【解答】解：（1）证明：∵a+c＝2bcosA，∴sinA+sinC＝2sinBcosA，又sinC＝sin（B+A），
∴sinA+sinBcosA+cosBsinA＝2sinBcosA，化为sinA＝sin（B﹣A），
∵A，B∈（0，π），∴A＝B﹣A，∴B＝2A．
（2）∵•＝•，∴•（﹣）＝0，∴•＝0，∴DE⊥AB．
△ABC中，由正弦定理可得：＝＝＝，可得cosA＝，
A∈（0，π），∴A＝，B＝，C＝．
∴BE＝DB＝．
∴S△ABC＝S四边形ACDE+S△BDE＝+×+a×sin＝a×2a×sin，
化为a2＝4，
解得a＝2．
在△CBE中，CE＝＝．
19．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，AA1＝A1B1＝AB，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若点M是AD的中点，求证：C1M⊥A1C；
（Ⅱ）棱BC上是否存在一点E，使得二面角E﹣AD1﹣D的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）取BC中点Q，连接AQ，推导出AQ⊥BC，AQ⊥AD，以A为坐标原点，分别以AQ，AD，AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由向量数量积为0证明C1M⊥A1C；
（Ⅱ）假设点E存在，使得二面角E﹣AD1﹣D的余弦值为，设点E的坐标为（，λ，0），﹣1≤λ≤1，分别求出平面AD1E的法向量与平面ADD1的法向量，由两法向量所成角的余弦值的绝对值为求解λ值，可得结论．
【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点Q，连接AQ，∵ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，
∴△ABC是正三角形，则AQ⊥BC，即AQ⊥AD，
∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AQ，
以A为坐标原点，分别以AQ，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设AA1＝A1B1＝AB＝1，
则A1（0，0，1），C（，1，0），C1（），M（0，1，0），
，，
∵＝，
∴，则A1C⊥C1M；
（Ⅱ）A（0，0，0），A1（0，0，1），D1（0，1，1），Q（，0，0），
假设点E存在，使得二面角E﹣AD1﹣D的余弦值为，
设点E的坐标为（，λ，0），﹣1≤λ≤1，＝（，λ，0），
＝（0，1，1），
设平面AD1E的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝λ，得＝（λ，﹣，），
平面ADD1的法向量为＝（，0，0），
∴|cos＜，＞|＝＝，解得：λ＝±，
又二面角E﹣AD1﹣D大小为锐角，由图可知，点E在线段QC上，
λ＝，即CE＝1﹣．

20．（12分）某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如表：
品牌
价格（元、件））
使用寿命（月）
甲
1000
7或8
乙
400
3或4
已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为．
（1）若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率；
（2）现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌（甲，乙两品牌轴承搭配使用）．试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？
【分析】（1）利用题中的条件对取件进行分类，即可解出；
（2）分别计算出方案一，方案二的性价比，即可判断．
【解答】解：（1）若取2个甲品牌，必满足题意，对应的概率为：＝，
若取一甲一乙，要能连续使用4个月的概率：＝，
若取2个乙，能连续使用4个月的概率为：＝，
∴所求概率为：＝；
（2）设电机正常工作时间为X个月，
①方案一中，X的取值为7，8，
P（X＝8）＝；
P（X＝7）＝1﹣，
∴E（X）＝7×＝，
由于甲为1000元每件，故性价比为；
②方案二中，Y的所有可能取值为：6，7，8，
P（Y＝6）＝；
P（Y＝8）＝；
P（Y＝7）＝1﹣；
∴E（Y）＝＝，
又因甲为1000元每件，乙为400元每件，两件共800元，故性价比为；
∵；
∴从性价比看方案二更实惠．
21．（12分）已知椭圆C：的焦距与椭圆的焦距相等，且C经过抛物线的顶点．
（1）求C的方程；
（2）若直线y＝kx+m与C相交于A，B两点，且A，B关于直线l：x+ty+1＝0对称，O为C的对称中心，且△AOB的面积为，求k的值．
【分析】（1）由已知建立方程组联立即可求解；
（2）由已知可得k＝t，然后联立直线y＝kx+m与椭圆方程，设出点A，B，P的坐标，利用韦达定理以及中点坐标公式求出点P的坐标，并代入直线l方程，得出m与k的关系式，进而求出|AB|，再求出原点到直线AB的距离，由此求出三角形AOB的面积的关系式，即可求出k．
【解答】解：（1）由题意：，解得：a2＝4，b2＝2，
所以C的方程为：；
（2）因为直线y＝kx+m与C相交于A，B两点，且A，B关于直线l：x+ty+1＝0对称，所以k＝t，
联立可得（k2+2）x2+2kmx+m2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
AB的中点为P（x0，y0），则△＝8（2k2+4﹣m2）＞0，
，，
因为P（x0，y0）在直线l：x+ky+1＝0上，所以，
即，所以，即：k2＞2，
所以，
O到直线AB的距离，
所以S△AOB＝|AB|•d＝＝，解得k＝±．
22．（12分）已知函数为自然对数的底数）．
（1）若函数f（x）在（，1）上有零点，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据导数和函数最值的关系，以及函数零点存在性定理即可求出a的取值范围，
（2）将参数进行分类，将不等式恒成立转化为含有参数问题求最值恒成立问题，然后利用导数求构造函数的最值．
【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+1﹣x2，
设φ（x）＝lnx+1﹣x2，
则φ′（x）＝﹣3x＝，
当x∈（0，）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
当x∈（，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
∴φ（x）max＝φ（）＝＜0，
∴f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上递减，即在（，1）上递减，
若函数f（x）在（，1）上有零点，
则f（）f（1）＜0，
即（ln﹣+a）（﹣+a）＜0，
解得+＜a＜，
（2）当x≥1时，不等式f（x）≤g（x）恒成立，
即xlnx﹣x3+a≤xe1﹣x+x3﹣x，
化简e1﹣x﹣lnx+ax2﹣﹣1≥0，
设F（x）＝e1﹣x﹣lnx+ax2﹣﹣1，x≥1，
由F（1）＝0，F′（x）＝﹣e1﹣x﹣+2ax+，则F′（1）＝3a﹣2，
（i）当3a﹣2≥0时，即a≥时，令h（x）＝F′（x）＝﹣e1﹣x﹣+2ax+，
∴h′（x）＝e1﹣x++2a（1﹣）＞0，
∴h（x）＝F′（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴F′（x）≥F′（1）＝3a﹣2≥0，
∴F（x）在区间[1，+∞）上单调递增，F（x）≥F（1）＝0恒成立，
即不等式f（x）≤g（x）恒成立，
（ii）当3a﹣2＜0时，即a＜时，若F′（x）在（1，+∞）上无零点，
则F′（x）＜0恒成立，
∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴F（x）＜F（1）＝0恒成立，即f（x）≤g（x）不成立，
若F′（x）在（1，+∞）上有零点，设第一个零点为x0，当x0∈（1，x0）时，F′（x）＜0，
∴F（x）在区间（1，x0）上单调递增，
∴F（x）＜F（1），即f（x）≤g（x）在区间（1，x0）上不成立，
综上所述：实数a的取值范围为[，+∞）．