2020-2021学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（理科）

这是一份2020-2021学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（理科），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1．（5分）若a＞b＞0，c＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．a+c＜b+c B． C．a2＜ab D．
2．（5分）cos37°cos23°﹣sin37°sin23°＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．（5分）已知向量＝（2，4），＝（﹣1，m），若+与共线，则m＝（　　）
A．2 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4
4．（5分）一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是（　　）

A． B．4 C．2 D．
5．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝9，a1＝2，则a5＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（5分）设不同的直线a，b和不同的平面α，β，γ，那么（　　）
A．a∥α，b⊂α，则a∥b B．a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
C．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b D．α∥β，β∥γ，则α∥γ
7．（5分）△ABC的三内角ABC的对边分别为a，b，c，且满足acosB+bcosA＝2ccosC，且sinA＝sinB，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
8．（5分）若，则sin2θ＝（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝22，S7＝S16，则Sn的最大值为（　　）
A．132.25 B．132 C．132.5 D．131
10．（5分）平面内有三个向量，，，其中与为单位向量且夹角为60°，⊥，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．1或﹣1
11．（5分）区间（a，b）是关于x的一元二次不等式mx2﹣x+1＜0的解集，则2a+b的最小值为（　　）
A．3+2 B．2+2 C．6 D．3﹣2
12．（5分）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理．某消毒装备的设计如图所示，PQ为街道路面，AB为消毒设备的高，BC为喷杆，AB⊥PQ，∠ABC＝，C处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面AQ，喷射角∠DCE＝．若AB＝3，BC＝6，则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为（　　）

A． B．2 C．4 D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）等比数列{an}中，a1＝1，q＝﹣2，则s5＝　 　．
14．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则b2+c2﹣bc＝　 　．
15．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与﹣3的夹角的余弦值为 　 　．
16．（5分）《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）在如图所示的堑堵ABC﹣A1B1C1中，BB1＝BC＝AB＝2且有鳖臑C1﹣ABB1和鳖臑C1﹣ABC，现将鳖臑C1﹣ABC沿BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑C1﹣ABC经翻折后与鳖臑C1﹣ABB1拼接成的几何体的外接球的表面积是 　 　．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知向量与的夹角θ＝，且||＝1，||＝2．
（1）求•，|+|；
（2）求向量在+方向上的投影．
18．（12分）已知函数f（x）＝ax+﹣3，若xf（x）＜4的解集为{x|1＜x＜b}．
（1）求a，b；
（2）解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．
19．（12分）已知函数f（x）＝2sinxcos．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈时，f（x）﹣m＞0能成立，求m的取值范围．
20．（12分）如图，在底面半径为2、高为4的圆柱中，B，A分别是上、下底面的圆心，四边形EFGH是该圆柱的轴截面，已知P是线段AB的中点，N是下底面半圆周上靠近H的三等分点．
（1）求三棱锥B﹣EPN的体积；
（2）在底面圆周上是否存在点M，使得FM∥平面PAN？若存在，请找出符合条件的所有M点并证明；若不存在，请说明理由．

21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosAsinC+asinBcosC＝．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，其外接圆半径为，求△ABC周长的取值范围．
22．（12分）已知数列{an}各项都是正数，a1＝1，对任意n∈N*都有a12+a22+…+an2＝．数列{bn}满足b1＝1，bn+bn+1＝2n+1（n∈N*）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式4×3n+9λ＜3n+2Tn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

2020-2021学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1．（5分）若a＞b＞0，c＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．a+c＜b+c B． C．a2＜ab D．
【分析】利用不等式的基本性质，采用做差法逐一判断各选项的正误即可．
【解答】对于选项A：因为a＞b＞0，c＜0，所以a+c＞b+c，故A不正确；
对于选项B：由于，因为a＞b＞0，c＜0，所以b﹣a＜0，所以＞0，即，故B正确；
对于选项C：因为a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，所以a2＞ab，故C不正确；
对于选项D：因为，所以，故D不正确．
故选：B．
2．（5分）cos37°cos23°﹣sin37°sin23°＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】利用两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：cos37°cos23°﹣sin37°sin23°＝cos（37°+23°）＝cos60°＝．
故选：A．
3．（5分）已知向量＝（2，4），＝（﹣1，m），若+与共线，则m＝（　　）
A．2 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4
【分析】根据题意，求出+的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于m的方程，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量＝（2，4），＝（﹣1，m），则+＝（1，4+m），
若+与共线，则2（4+m）＝4，解可得m＝﹣2，
故选：C．
4．（5分）一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是（　　）

A． B．4 C．2 D．
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥体；
如图所示：

所以：．
故选：A．
5．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝9，a1＝2，则a5＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由S3＝9，a1＝2可解出d值，从而可求出a5．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由S3＝9，得3a1+3d＝9，即a1+d＝3，
又a1＝2，所以d＝1，故a5＝2+4＝6．
故选：D．
6．（5分）设不同的直线a，b和不同的平面α，β，γ，那么（　　）
A．a∥α，b⊂α，则a∥b B．a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
C．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b D．α∥β，β∥γ，则α∥γ
【分析】对于A，a与b平行或异面；对于B，α与β平行或相交；对于C，a与b平行或异面；对于D，由面面平行的判定定理得α∥γ．
【解答】解：设不同的直线a，b和不同的平面α，β，γ，
对于A，a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，故A错误；
对于B，a⊂α，b⊂β，a∥b，则α与β平行或相交，故B错误；
对于C，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故C错误；
对于D，α∥β，β∥γ，则由面面平行的判定定理得α∥γ，故D正确．
故选：D．
7．（5分）△ABC的三内角ABC的对边分别为a，b，c，且满足acosB+bcosA＝2ccosC，且sinA＝sinB，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：△ABC的三内角ABC的对边分别为a，b，c，且满足acosB+bcosA＝2ccosC，
利用正弦定理：sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosC，
整理得：sin（A+B）＝sinC＝2sinCcosC，
化简得：cosC＝，
由于0＜C＜π，
故C＝，
由于sinA＝sinB，
所以A＝B，
故A＝B＝C＝．
所以△ABC为等边三角形．
故选：B．
8．（5分）若，则sin2θ＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】把要求的式子先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，
可求出所求．
【解答】解：若，则sin2θ＝＝＝＝，
故选：C．
9．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝22，S7＝S16，则Sn的最大值为（　　）
A．132.25 B．132 C．132.5 D．131
【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据a1＝22，S7＝S16即可求出d值，从而可得Sn的表达式，再结合n∈N+及二次函数的性质即可求出Sn的最大值．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
由S7＝S16，得7a1+21d＝16a1+120d，即a1+11d＝0，又a1＝22，所以d＝﹣2，
所以Sn＝22n+×（﹣2）＝﹣n2+23n，又n∈N+，且S11＝S12＝132，
所以当n＝11或n＝12时，Sn有最大值且最大值为132．
故选：B．
10．（5分）平面内有三个向量，，，其中与为单位向量且夹角为60°，⊥，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．1或﹣1
【分析】以O为原点，、所在直线为x轴、y轴建立坐标系，分别用坐标形式表示出、、，再结合＝λ+μ（λ，μ∈R），求出λ、μ的值即可．
【解答】解：如图，以O为原点，、所在直线为x轴、y轴建立坐标系，
则＝（1，0），＝（0，），
因为与为单位向量且夹角为60°，
所以＝（，）或＝（，﹣），
又因为＝λ+μ（λ，μ∈R），
即（0，）＝λ（1，0）+μ（，）或（0，）＝λ（1，0）+μ（，﹣），
所以或，
解得或，
则λ+μ＝1或﹣1，
故选：D．

11．（5分）区间（a，b）是关于x的一元二次不等式mx2﹣x+1＜0的解集，则2a+b的最小值为（　　）
A．3+2 B．2+2 C．6 D．3﹣2
【分析】根据一元二次不等式mx2﹣x+1＜0的解集和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的关系式，再利用基本不等式求出2a+b的最小值．
【解答】解：区间（a，b）是关于x的一元二次不等式mx2﹣x+1＜0的解集，
所以a、b是方程mx2﹣x+1＝0的实数根，且m＞0；
由根与系数的关系知，，
所以a+b＝ab，且a＞0，b＞0，所以＝+＝1，
所以2a+b＝（2a+b）（+）＝2+1++≥3+2＝3+2，
当且仅当b＝a时取等号，所以2a+b的最小值为3+2．
故选：A．
12．（5分）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理．某消毒装备的设计如图所示，PQ为街道路面，AB为消毒设备的高，BC为喷杆，AB⊥PQ，∠ABC＝，C处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面AQ，喷射角∠DCE＝．若AB＝3，BC＝6，则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为（　　）

A． B．2 C．4 D．5
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求4DE＝CD⋅CE，利用余弦定理，基本不等式可求DE2≥CD⋅CE，即可得解DE的最小值．
【解答】解：C到地面的距离h＝3+6sin（﹣）＝6，
因为S△CDE＝DE⋅h＝CD⋅CEsin，
则6DE＝CD⋅CE，即4DE＝CD⋅CE，
从而利用余弦定理得：DE2＝CD2+CE2−2CD⋅CEcos≥2CD⋅CE﹣CD⋅CE＝CD⋅CE，当且仅当CD＝CE时等式成立，
故DE2≥CD⋅CE，
则DE≥4，当且仅当CD＝CE时等式成立，
故DE的最小值为4．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）等比数列{an}中，a1＝1，q＝﹣2，则s5＝　11　．
【分析】利用等比数列求和公式求出S5即可．
【解答】解：根据题意，S5＝＝11．
故答案为：11．
14．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则b2+c2﹣bc＝　3　．
【分析】由已知利用余弦定理即可求解．
【解答】解：因为A＝，a＝，
所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得b2+c2﹣bc＝3．
故答案为：3．
15．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与﹣3的夹角的余弦值为 　　．
【分析】根据已知条件，结合向量模公式和向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：设向量，的夹角为θ，||＝t，t为实数，
∵（﹣）⊥，
∴（﹣）•＝0，即，①，
∵，为非零向量，且满足||＝2||②，
∴联立①②可得，
∵||＝2t，＝，
•（﹣3）＝，
∴＝＝．
故答案为：．
16．（5分）《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）在如图所示的堑堵ABC﹣A1B1C1中，BB1＝BC＝AB＝2且有鳖臑C1﹣ABB1和鳖臑C1﹣ABC，现将鳖臑C1﹣ABC沿BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑C1﹣ABC经翻折后与鳖臑C1﹣ABB1拼接成的几何体的外接球的表面积是 　20π　．

【分析】设A点翻折至E点，由几何体的性质得A，B，E三点共线，且B为AE中点，故等价于求三棱锥C1﹣AB1E的外接球的表面积．
因为C1B1⊥平面AB1E，△AB1E为等腰直角三角形，所以转化为长方体的外接球．
【解答】解：如图，翻折后△BCC1与△BB1C1重合，设A点翻折至E点，由AB⊥平面BB1C1，得EB⊥平面BB1C1．
所以A，B，E三点共线，且B为AE中点．
因为△ABB1为等腰直角三角形，且AB＝B1B＝2，
所以△AB1E为等腰直角三角形，且AB1＝EB1＝．
又因为C1B1⊥平面AB1E，所以三棱锥C1﹣AB1E的顶点都在长方体上．
设外接球的半径为R，则，即4R2＝20，
所以外接球的表面积为4πR2＝20π．
故答案为：20π．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知向量与的夹角θ＝，且||＝1，||＝2．
（1）求•，|+|；
（2）求向量在+方向上的投影．
【分析】（1）直接由数量积运算求•，再由|+|＝，展开完全平方后代入数量积求解；
（2）直接利用向量在向量方向上的投影概念求解．
【解答】解：（1）∵||＝1，||＝2，与的夹角θ＝，
∴＝，
＝＝；
（2）向量在+方向上的投影为＝＝．
18．（12分）已知函数f（x）＝ax+﹣3，若xf（x）＜4的解集为{x|1＜x＜b}．
（1）求a，b；
（2）解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．
【分析】（1）把不等式变形，利用韦达定理，求得a，b的值．
（2）把不等式变形为一元二次不等式，分类讨论c的值，求得它的解集．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ax+﹣3，
故不等式xf（x）＜4，即 ax2﹣3x+2＜0，
由于不等式的解集为{x|1＜x＜b}可得，
1+b＝，且 1×b＝，求得a＝1，且 b＝2．
（2）关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即 x2﹣（c+2）x+2c＜0，
即（x﹣2）（x﹣c）＜0．
当c＝2时，不等式即（x﹣2）2＜0，它的解集为∅；
当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0 的解集为（c，2）；
当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0 的解集为（2，c）．
19．（12分）已知函数f（x）＝2sinxcos．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈时，f（x）﹣m＞0能成立，求m的取值范围．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，然后由正弦函数的单调性列出不等式，求解即可；
（2）由正弦函数的性质，求出f（x）的最大值，将不等式恒成立问题转化为m＜f（x）max，即可得到答案．
【解答】解：（1）f（x）＝2sinxcos
＝
＝
＝
＝，
令，
解得≤x≤，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为[，]，k∈Z；
（2）因为，则，
所以，
故f（x）max＝1
当x∈时，f（x）﹣m＞0能成立，即m＜f（x）max，
所以m＜1，
故m的取值范围为（﹣∞，1）．
20．（12分）如图，在底面半径为2、高为4的圆柱中，B，A分别是上、下底面的圆心，四边形EFGH是该圆柱的轴截面，已知P是线段AB的中点，N是下底面半圆周上靠近H的三等分点．
（1）求三棱锥B﹣EPN的体积；
（2）在底面圆周上是否存在点M，使得FM∥平面PAN？若存在，请找出符合条件的所有M点并证明；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题意，计算三棱锥B﹣EPN的体积为V三棱锥B﹣EPN＝V三棱锥B﹣AEN﹣V三棱锥P﹣AEN；
（2）存在点M，M为的中点，使得FM∥平面PAN；利用线面平行的判定即可证明FM∥平面PAN．
【解答】解：（1）因为圆柱的底面半径为2、高为4，P是线段AB的中点，N是半圆周上的三等分点，
所以三棱锥B﹣EPN的体积为：
V三棱锥B﹣EPN＝V三棱锥B﹣AEN﹣V三棱锥P﹣AEN
＝S△AEN•AB﹣S△AEN•PA
＝××2×2×sin120°×4﹣××2×2×sin120°×2＝．
（2）存在点M，M为的中点，使得FM∥平面PAN．理由如下：
连接EM，因为M、N是半圆周的三等分点，
所以∠EAM＝∠MAN＝∠NAH；
又AE＝AM，所以△AEM为等边三角形，所以∠AEM＝NAH＝60°，
所以EM∥AN；
又EM⊄平面PAN，AN⊂平面PAN，所以EM∥平面PAN；
由EFGH是圆柱的轴截面，所以四边形EFGH是矩形；
又因为B、A分别是FG、EH的中点，所以EF∥BA，即EF∥PA；
又EF⊄平面PAN，PA⊂平面PAN，所以EF∥平面PAN；
且EF∩EM＝E，EF⊂平面EFM，EM⊂平面EFM，
所以平面EFM∥平面PAN；
又FM⊂平面EFM，所以FM∥平面PAN．

21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosAsinC+asinBcosC＝．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，其外接圆半径为，求△ABC周长的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理，即可求出cosB以及B的值；
（2）利用正弦定理和三角恒等变换，即可求出a+c的取值范围，再求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）△ABC中，由bcosAsinC+asinBcosC＝，
利用正弦定理可得sinBcosAsinC+sinAsinBcosC＝sinB，
因为sinB≠0，所以cosAsinC+sinAcosC＝sin（A+C）＝sinB＝，
又B∈（0，π），
所以B＝，或；
（2）若△ABC为锐角三角形，由（1）知B＝，且外接圆的半径为，
由正弦定理得＝2×，可得b＝3，
由正弦定理得＝2，
所以a+c＝2（sinA+sinC）；
因为A+C＝，
所以a+c＝2[sinA+sin（﹣A）]＝2×（sinA+cosA）＝6sin（A+），
又△ABC为锐角三角形，则0＜A＜，且0＜C＜，
又C＝﹣A，则＜A＜，所以＜A+＜，
所以＜sin（A+）≤1，
所以3＜a+c≤6，
所以△ABC周长a+b+c的取值范围是（3+3，9]．
22．（12分）已知数列{an}各项都是正数，a1＝1，对任意n∈N*都有a12+a22+…+an2＝．数列{bn}满足b1＝1，bn+bn+1＝2n+1（n∈N*）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式4×3n+9λ＜3n+2Tn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
【分析】（1）由数列的递推式，结合等比数列和等差数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）由等比数列的求和公式和数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立思想，结合数列的单调性，计算可得所求范围．
【解答】解：（1）数列{an}各项都是正数，a1＝1，对任意n∈N*都有a12+a22+…+an2＝，①
当n≥2时，a12+a22+…+an﹣12＝，②
①﹣②可得3an2＝an+12﹣an2，
化为an+1＝2an，
由于a2＝2，所以an＝2n，
上式对n＝1也成立，
所以an＝2n﹣1，n∈N*；
数列{bn}满足b1＝1，bn+bn+1＝2n+1（n∈N*），
可得b2＝3﹣b1＝2，
当n≥2时，bn﹣1+bn＝2n﹣1，又bn+bn+1＝2n+1，
两式相减可得bn+1﹣bn﹣1＝2，
所以{bn}的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，
可得奇数项为1，3，5，7，...，2n﹣1，...，偶数项为2，4，6，...，2n，...，
所以bn＝n；
（2）cn＝＝n•（）2n，
Tn＝1•+2•+3•+...+n•（）2n，
Tn＝1•+2•+...+n•（）2n+2，
两式相减可得Tn＝++...+（）2n﹣n•（）2n+2
＝﹣n•（）2n+2，
化为Tn＝﹣•，
若不等式4×3n+9λ＜3n+2Tn对一切n∈N*恒成立，
即为﹣9λ＞（3n+4）•（）n恒成立，
设dn＝（3n+4）•（）n，
﹣1＝﹣1＝﹣1＝，
当n＝1时，d2＞d1，当n≥2时，dn+1＜dn，
所以n＝2时，dn取得最大值，
则﹣9λ＞，解得λ＜﹣，
即λ的取值范围是（﹣∞，﹣）．