2021年山东省济南市高考数学二模试卷

这是一份2021年山东省济南市高考数学二模试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省济南市高考数学二模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|log2（x﹣1）＜1}，则（∁UA）∩B＝（　　）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（1，2） D．（1，3）
2．（5分）已知（2﹣i）•z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
3．（5分）“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤0）＝0.2，则P（X＜2）＝（　　）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
5．（5分）已知椭圆C：+＝1，过点P（1，）的直线交椭圆C于A、B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为（　　）
A．3x﹣2y﹣2＝0 B．3x+2y﹣4＝0 C．3x+4y﹣5＝0 D．3x﹣4y﹣1＝0
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点M（，﹣1）和点N（0，1）．若点P在∠MON的角平分线上，且||＝4，则•＝（　　）
A．﹣2 B．﹣6 C．2 D．6
7．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（b），则a+b的最小值是（　　）
A．2 B．e C．1+e D．2e
8．（5分）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的曼哈顿距离为：LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点P（1，2），点Q为圆C：x2+y2＝4上一动点，则LPQ的最大值为（　　）
A．1+ B．1+2 C．3+ D．3+2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（5分）已知a＞b＞0，c∈R，下列不等式恒成立的有（　　）
A．（）a＜（）b B．ac2＞bc2
C．log2＞log2 D．（）2
10．（5分）函数f（x）＝2cos（2x﹣）+1（x∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．若f（x1）＝f（x2）＝3，则x1﹣x2＝kπ（k∈Z）
B．函数f（x）在[，]上为增函数
C．函数f（x）的图象关于点（，1）对称
D．函数f（x）的图象可以由g（x）＝2sin（2x﹣）+1（x∈R）的图象向左平移个单位长度得到
11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（1﹣x）＝﹣f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2+x﹣2，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是以4为周期的周期函数
B．f（2018）+f（2021）＝﹣2
C．函数y＝log2（x+1）的图象与函数f（x）的图象有且仅有3个交点
D．当x∈[3，4]时，f（x）＝x2﹣9x+18
12．（5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AB＝AA1＝AD＝1，∠BAD＝60°，点P是半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（　　）

A．四面体PBCQ的体积是定值
B．的取值范围是（0，4）
C．若C1Q与平面ABCD所成的角为θ，则tan
D．若三棱锥P﹣BCQ的外接球表面积为S，则S∈[4π，13π）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知（x﹣）n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是　 　．
14．（5分）已知tan（）＝，则cos2α＝　 　．
15．（5分）设双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N．若以MN为直径的圆经过点F2且|MF2|＝|NF2|，则双曲线的离心率为　 　．
16．（5分）设函数f（x）＝ex﹣cosx﹣2a，g（x）＝x，若存在x1，x2∈[0，π]使得f（x1）＝g（x2）成立，则x2﹣x1的最小值为1时，实数a＝　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在①（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC；②2asinC＝ctanA；③2cos2＝cos2A+1；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b＝，___．
（1）求A的值；
（2）若sinB＝sinC，求△ABC的面积．
18．（12分）已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1，3a2的等差中项，a4＝16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝（﹣1）nlog2a2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制．约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设比赛结束时甲和乙共进行了X局比赛，求随机变量X的分布列及数学期望．
20．（12分）如图，四边形ABEF是矩形，平面ABC⊥平面ABEF，D为BC中点，∠CAB＝120°，AB＝AC＝4，AF＝．
（1）证明：平面ADF⊥平面BCF；
（2）求二面角F﹣AD﹣E的余弦值．

21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），过点T（0，p）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交抛物线C于A、B两点，l2交抛物线C于E、F两点，当点A的横坐标为1时，抛物线C在点A处的切线斜率为．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，线段AB的中点为M，线段EF的中点为N，求△OMN面积的最小值．
22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x，g（x）＝（1﹣a）xlnx﹣ex﹣1，a＞0．
（1）当a＝时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；
（2）若f（x）≥g（x）+x恒成立，求实数a的取值范围．

2021年山东省济南市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|log2（x﹣1）＜1}，则（∁UA）∩B＝（　　）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（1，2） D．（1，3）
【分析】先利用对数不等式求出集合B，然后由补集的定义和交集的定义求解即可．
【解答】解：因为B＝{x|log2（x﹣1）＜1}＝{x|1＜x＜3}，
又集合A＝{x|x≥2}，全集U＝R，
所以（∁UA＝{x|x＜2}，
所以（∁UA）∩B＝（1，2）．
故选：C．
2．（5分）已知（2﹣i）•z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
【分析】由已知求出z，进而可以求解．
【解答】解：由已知可得：
z＝，
所以|z|＝，
故选：A．
3．（5分）“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．
【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，
如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．
故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．
故选：B．
4．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤0）＝0.2，则P（X＜2）＝（　　）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【分析】先求出P（0≤X≤1），再计算P（1≤X≤2），然后求解P（X＜2）．
【解答】解：随机变量X服从正态分布N（1，σ2），P（X≤0）＝0.2，
∴P（0≤X≤1）＝0.5﹣0.2＝0.3，
∴P（1≤X≤2）＝P（0≤X≤1）＝0.3．
所以P（X＜2）＝0.5+0.3＝0.8．
故选：D．
5．（5分）已知椭圆C：+＝1，过点P（1，）的直线交椭圆C于A、B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为（　　）
A．3x﹣2y﹣2＝0 B．3x+2y﹣4＝0 C．3x+4y﹣5＝0 D．3x﹣4y﹣1＝0
【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则3x12+4y12＝12，3x22+4y22＝12，
∴3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0．
∵P（1，1）恰为线段AB的中点，即有x1+x2＝2，y1+y2＝1，
∴3（x1﹣x2）+2（y1﹣y2）＝0，
∴直线AB的斜率为k＝＝﹣，
∴直线AB的方程为y﹣＝﹣（x﹣1），
即3x+2y﹣4＝0．
由于P在椭圆内，故成立．
故选：B．
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点M（，﹣1）和点N（0，1）．若点P在∠MON的角平分线上，且||＝4，则•＝（　　）
A．﹣2 B．﹣6 C．2 D．6
【分析】根据点M（，﹣1）可知OM与x轴正方向所角为30°，点M（，﹣1）和点N（0，1）所成夹角∠MON＝120°，然后求出P的坐标，结合向量的坐标运算，即可求解•的值．
【解答】解：点M（，﹣1）可知OM与x轴正方向所角为30°，如图

点M（，﹣1）和点N（0，1）
那么ON＝1，MO＝2，余弦定理可得∠MON＝120°，
点P在∠MON的角平分线上，且||＝4，
那么∠MOP＝∠NOP＝60°，
可得P的坐标为（），
∴•＝（）•（，2）＝﹣6+4＝﹣2；
故选：A．
7．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（b），则a+b的最小值是（　　）
A．2 B．e C．1+e D．2e
【分析】根据函数的性质可得ab＝e，再根据基本不等式以及函数的单调性，再代值计算即可
【解答】解：∵函数f（x）＝，
设b＞1≥a＞0，
由f（a）＝f（b）可得﹣1+2lnb＝1﹣2lna，即lna+lnb＝1，即ab＝e，
∴a+b＝a+≥2＝2，当且仅当a＝时，等号成立，
但0＜a≤1时，即y＝a+在（0，1]上单调递减，
故y＝a+在（0，1]上的最小值为：1+＝1+e，
故选：C．
8．（5分）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的曼哈顿距离为：LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点P（1，2），点Q为圆C：x2+y2＝4上一动点，则LPQ的最大值为（　　）
A．1+ B．1+2 C．3+ D．3+2
【分析】由题意设P（2cosθ，2sinθ）（0≤θ＜2π），则LPQ＝|1﹣2cosθ|+|2﹣2sinθ|，然后对θ分段去绝对值，再由三角函数求最值．
【解答】解：由题意设P（2cosθ，2sinθ）（0≤θ＜2π），
则LPQ＝|1﹣2cosθ|+|2﹣2sinθ|，
当cosθ≥时，即当θ∈[0，]∪[）时，
LPQ＝2cosθ﹣1+2﹣2sinθ＝1+cos（θ+），
∵θ∈[0，]∪[），∴∈[]∪[，），
则当＝2π时，LPQ的最大值为；
当cosθ＜时，即当θ∈（，）时，
LPQ＝1﹣2cosθ+2﹣2sinθ＝3﹣cos（θ+），
∵θ∈（，）∴∈（），
则当＝时，LPQ的最大值为3+2．
综上所述，LPQ的最大值为3+2．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（5分）已知a＞b＞0，c∈R，下列不等式恒成立的有（　　）
A．（）a＜（）b B．ac2＞bc2
C．log2＞log2 D．（）2
【分析】直接利用指数函数和对数函数的单调性的应用和基本不等式的应用确定A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于a＞b＞0，函数y＝为减函数，故（）a＜（）b；故A正确；
对于B：当c＝0时，ac2＝bc2；故B错误；
对于C：当a＞b＞0时，，由于y＝log2x在（0，+∞）单调递增，所以，故C错误；
对于D：根据不等式的性质，（）2恒成立，故D正确；
故选：AD．
10．（5分）函数f（x）＝2cos（2x﹣）+1（x∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．若f（x1）＝f（x2）＝3，则x1﹣x2＝kπ（k∈Z）
B．函数f（x）在[，]上为增函数
C．函数f（x）的图象关于点（，1）对称
D．函数f（x）的图象可以由g（x）＝2sin（2x﹣）+1（x∈R）的图象向左平移个单位长度得到
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）＝2cos（2x﹣）+1（x∈R），
若f（x1）＝f（x2）＝3，则x1﹣x2＝kT＝kπ（k∈Z），故A正确；
在[，]上，2x+∈[﹣，]，函数f（x）没有单调性，故B错误；
令x＝，求得f（x）＝1，可得函数f（x）的图象关于点（，1）对称；
把g（x）＝2sin（2x﹣）+1（x∈R）的图象向左平移个单位长度得到y＝2sin（2x+﹣）+1＝2sin（2x﹣）+1（x∈R）的图象，故D错误，
故选：AC．
11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（1﹣x）＝﹣f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2+x﹣2，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是以4为周期的周期函数
B．f（2018）+f（2021）＝﹣2
C．函数y＝log2（x+1）的图象与函数f（x）的图象有且仅有3个交点
D．当x∈[3，4]时，f（x）＝x2﹣9x+18
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）满足f（1﹣x）＝﹣f（1+x），即f（﹣x）＝﹣f（2+x），又由f（x）为偶函数，则f（2+x）＝﹣f（x），
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，A正确；
对于B，f（x）是周期为4的周期函数，则f（2018）＝f（2）＝﹣f（0）＝﹣（﹣2）＝2，f（2021）＝f（1）＝0，则f（2018）+f（2021）＝2，B错误；
对于C，根据题意，作出函数y＝log2（x+1）的图象与函数f（x）的图象，结合图象可得两个函数有3个交点，C正确；
对于D，当x∈[3，4]时，则4﹣x∈[0，1]，则f（4﹣x）＝（4﹣x）2+（4﹣x）﹣2＝x2﹣9x+18，
又由f（x）为周期为4的周期函数且f（x）是偶函数，则f（x）＝f（x﹣4）＝f（4﹣x）＝x2﹣9x+18，D正确；
故选：ACD．

12．（5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AB＝AA1＝AD＝1，∠BAD＝60°，点P是半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（　　）

A．四面体PBCQ的体积是定值
B．的取值范围是（0，4）
C．若C1Q与平面ABCD所成的角为θ，则tan
D．若三棱锥P﹣BCQ的外接球表面积为S，则S∈[4π，13π）
【分析】利用椎体的体积公式可判断A；利用空间向量数量积的定义可判断B；利用线面角的定义可判断C；利用建系的方法计算出三棱锥P﹣BCQ的外接球半径的取值范围，结合球体的表面积公式可判断D．
【解答】解：对A：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P到面ABCD的距离为1，
则VP﹣BCQ＝＝h，
由于h不为定值，故VP﹣BCQ不为定值，故A错误；
对B：在Rt△A1PD1中，cos∠D1A1P＝，
所以•＝•＝||•||cos∠D1A1P＝4cos²∠D1A1P，
因为∠D1A1P∈（0，），所以cos∠D1A1P∈（0，1），
所以•的取值范围是（0，4），故B正确；
对C：由于CC1⊥面ABCD，所以C1Q与面ABCD所成的角为∠C1QC，
所以tanθ＝＝，因为CQ∈（0，2），所以tanθ＞，故C正确；
对D：以D为坐标原点，DB、DC、DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示坐标系，
则B（，0，0），C（0，1，0），A1（，﹣1，1），D1（0，0，1），
线段BC的中点M（，，0），线段A1D1的中点N（，﹣，1），
设球心O（，，t），点P（x，y，1），
则（x﹣）²+（y+）²＝1，
由||＝||，可得（x﹣）²+（y+）²+（1﹣t）²＝1+t²，
整理可得2t＝（x﹣）²+（y﹣）²＝1﹣（y+）²+（y﹣）²＝1﹣2y，
则t＝﹣y，
因为﹣1＜y≤，则t＝﹣y∈[0，），||＝∈[1，），
所以S＝4π||²∈[4π，13π），故D正确；
故选：BCD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知（x﹣）n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是　84　．
【分析】利用二项式系数的性质可求得n＝7，再利用（x﹣）7的展开式中的通项公式可求得答案．
【解答】解：∵2n＝128，
∴n＝7，
∴（x﹣）7的展开式中的通项Tr+1＝••x7﹣r＝（﹣2）r••x7﹣2r，
令7﹣2r＝3，得r＝2，
∴（x﹣）7的展开式中x3项的系数为：4＝84，
故答案为：84．
14．（5分）已知tan（）＝，则cos2α＝　　．
【分析】由已知结合两角差的正切公式可求tanα，然后结合同角基本关系即可求解．
【解答】解：因为tan（）＝＝，
则tanα＝，
cos2α＝＝＝．
故答案为：．
15．（5分）设双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N．若以MN为直径的圆经过点F2且|MF2|＝|NF2|，则双曲线的离心率为　　．
【分析】由MN为直径的圆经过点F2则可得：MF2⊥NF2，且|MF2|＝|NF2|，所以△MNF2为等腰直角三角形，设一个焦半径，可以求出其他线段的长度，在三角形中由余弦定理求出a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．
【解答】解：由MN为直径的圆经过点F2则可得：MF2⊥NF2，且|MF2|＝|NF2|，所以△MNF2为等腰直角三角形，所以∠F1NF2＝45°如图所示；
设|NF2|＝t，则|MF2|＝t，由双曲线的定义可得：|MF1|＝t﹣2a，|NF1|＝t+2a
所以|MN|＝|NF1|﹣|MF1|＝4a＝，解得t＝2，
所以|NF1|＝t+2a＝（2+2）a，
在△F1NF2，由余弦定理可得：|F2F2|2＝|NF1|2+|NF2|2﹣2|NF1||NF2|cos45°，即4c2＝（2+2）2a2+8a2﹣8（1+）a2，
可得e2＝3，所以离心率为；
故答案为：．

16．（5分）设函数f（x）＝ex﹣cosx﹣2a，g（x）＝x，若存在x1，x2∈[0，π]使得f（x1）＝g（x2）成立，则x2﹣x1的最小值为1时，实数a＝　　．
【分析】令F（x）＝f（x）﹣g（x），x2﹣x1的最小值即求F（x）在[0，π]上的最小值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出F（x）的最小值，得到关于a的方程，解出即可．
【解答】解：令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣cosx﹣x﹣2a，
由f（x1）＝g（x2）得x2＝﹣cosx1﹣2a，
则x2﹣x1＝﹣cosx1﹣x1﹣2a，
则x2﹣x1的最小值即求F（x）在[0，π]上的最小值，
F′（x）＝ex+sinx﹣1≥0恒成立，x∈[0，π]，
∴F（x）在[0，π]上单调递增，
∴F（x）min＝F（0）＝﹣2a＝（x2﹣x1）min＝1，
∴a＝﹣，
故答案为：﹣．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在①（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC；②2asinC＝ctanA；③2cos2＝cos2A+1；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b＝，___．
（1）求A的值；
（2）若sinB＝sinC，求△ABC的面积．
【分析】（1）若选择条件①：根据正弦定理可得出b2+c2﹣a2＝bc，然后根据余弦定理即可求出cosA＝，从而求出A＝；若选择条件②：根据正弦定理即可求出cos，从而求出A＝；若选择条件③：根据二倍角的余弦公式即可得出2cos2A+cosA﹣1＝0，然后可求出，进而解出；
（2）根据正弦定理可得出，从而求出c＝1，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）若选①：∵（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC，
∴由正弦定理得（b﹣c）2＝a2﹣bc，整理得b2+c2﹣a2＝bc，
∴，且0＜A＜π，
∴；
若选②：∵2asinC＝ctanA，
∴根据正弦定理得，且sinA＞0，sinC＞0，
∴，且0＜A＜π，
∴；
若选③：∵，
∴cos（B+C）+1＝2cos2A﹣1+1，
∴2cos2A+cosA﹣1＝0，解得或cosA＝﹣1，且0＜A＜π，
∴；
（2）∵，
∴由正弦定理得，且，
∴c＝1，
∴＝．
18．（12分）已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1，3a2的等差中项，a4＝16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝（﹣1）nlog2a2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；
（2）利用分组法的应用求出数列的和．
【解答】解：（1）数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1，3a2的等差中项，a4＝16，
设数列的公比为q，
则，
由于a1≠0，
故2q2﹣3q﹣2＝0，解得q＝2或．
由于数列为正项数列，
所以q＝2．
则．
（2）由（1）知：，
所以bn＝（﹣1）nlog2a2n+1＝（﹣1）n•（2n+1），
当n为偶数时，则，
当n为奇数时，则．
故．
19．（12分）甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制．约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设比赛结束时甲和乙共进行了X局比赛，求随机变量X的分布列及数学期望．
【分析】（1）甲获胜分为三种情况：比赛三局且甲获胜，比赛四局且甲获胜，比赛五局且甲获胜，分别求解概率，然后由分类计数原理求解即可．
（2）先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
【解答】解：（1）由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为，
比赛四局且甲获胜的概率为＝，
比赛五局且甲获胜的概率为＝，
所以甲获胜的概率为＝；
（2）随机变量X的取值为3，4，5，
则P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
P（X＝5）＝×＝，
所以随机变量X的分布列为：
X
3
4
5
P



则随机变量X的数学期望为E（X）＝3×+4×+5×＝．
20．（12分）如图，四边形ABEF是矩形，平面ABC⊥平面ABEF，D为BC中点，∠CAB＝120°，AB＝AC＝4，AF＝．
（1）证明：平面ADF⊥平面BCF；
（2）求二面角F﹣AD﹣E的余弦值．

【分析】（1）推导出AD⊥BC，FA⊥AB，从而AF⊥平面ABC，进而AF⊥BC，BC⊥平面ADF，由此能证明平面ADF⊥平面BCF．
（2）由AF⊥平面ABC，以A为原点，在平面ABC中过A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣E的余弦值．
【解答】解：（1）证明：∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，
∵ABEF是矩形，∴FA⊥AB，
∵平面ABC⊥平面ABEF，平面ABC∩平面ABEF＝AB，
AF⊂平面ABEF，∴AF⊥平面ABC，
∵BC⊂平面ABC，∴AF⊥BC，
∵BC⊥AF，AD⊂平面ADF，AF∩AD＝A，∴BC⊥平面ADF，
又BC⊂平面BCF，∴平面ADF⊥平面BCF．
（2）由（1）知AF⊥平面ABC，
∴以A为原点，在平面ABC中过A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），F（0，0，），B（0，4，0），C（，﹣2，0），E（0，4，），
∴D（，1，0），＝（，1，0），＝（0，0，），＝（2，﹣6，0），
由（1）知＝（2，﹣6，0）是平面ADF的一个法向量，
设平面ADE的一个法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣，2），
∴cos＜＞＝＝＝，
∵二面角F﹣AD﹣E是平面角是锐角，
∴二面角F﹣AD﹣E的余弦值为．

21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），过点T（0，p）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交抛物线C于A、B两点，l2交抛物线C于E、F两点，当点A的横坐标为1时，抛物线C在点A处的切线斜率为．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，线段AB的中点为M，线段EF的中点为N，求△OMN面积的最小值．
【分析】（1）将抛物线方程化为y＝，求导得y′＝，由导数的几何意义可得＝，解得p，进而可得抛物线C的标准方程．
（2）由（1）知点T的坐标为（0，2），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l1的方程为y＝kx+2，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，进而可得y1+y2，由中点坐标公式可得M（2k，2k2+2），N（﹣，+2），写出直线MN的方程，得y＝（k﹣）x+4，即可得出直线MN恒过定点（0，4），再计算△OMN的面积S＝4|k+|，由基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为x2＝2py（p＞0）可化为y＝，
所以y′＝，
因为当A点的横坐标为1时，抛物线C在点A处的切线斜率为，所以＝，
所以p＝2，
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y．
（2）由（1）知点T的坐标为（0，2），
由题意可知，直线l1和l2斜率都存在且均不为0，
设直线l1的方程为y＝kx+2，
由，联立消去y并整理可得x2﹣4kx﹣8＝0，
所以△＝（﹣4k）2+32＝16k2＝32＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，
所以y1+y2＝k（x1+x2）+4＝4k2+4，
因为M为AB的中点，所以M（2k，2k2+2），
因为l1⊥l2，N为EF中点，所以N（﹣，+2），
所以直线MN的方程为y﹣（2k2+2）＝•（x﹣2k）＝（k﹣）•（x﹣2k），
整理可得y＝（k﹣）x+4，
所以直线MN恒过定点（0，4），
所以△OMN的面积S＝×4×|2k﹣（﹣）|＝4|k+|≥8，
当且仅当k＝，即k＝±1时，△OMN面积取得最小值为8．
22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x，g（x）＝（1﹣a）xlnx﹣ex﹣1，a＞0．
（1）当a＝时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；
（2）若f（x）≥g（x）+x恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）对f（x）求导，利用导数即可判断函数的单调性；
（2）不等式恒成立转化为ex﹣lnx﹣1≥a（x﹣lnx），令t＝x﹣lnx，利用导数可求得t≥1，则不等式进一步转化为a≤恒成立，令g（t）＝，利用导数求出g（t）的最小值，从而可求得a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝时，f（x）＝xlnx﹣x2+x，
所以f′（x）＝lnx﹣ex+2，
令p（x）＝lnx﹣ex+2，则p′（x）＝﹣e＝，
若p′（x）＞0，则0＜x＜，若p′（x）＜0，则x＞，
所以p（x）在（0，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，
则p（x）≤p（）＝0，即f′（x）≤0，仅在x＝时，f′（x）＝0，
所以函数f（x）在（0，+∞）内单调递减．
（2）因为f（x）＝xlnx﹣ax2+x，g（x）＝（1﹣a）xlnx﹣ex﹣1，a＞0，
若f（x）≥g（x）+x恒成立，即对任意x＞0，ex﹣1﹣ax（x﹣lnx）≥0恒成立，
即对任意的x＞0，﹣a（x﹣lnx）≥0恒成立，
即ex﹣lnx﹣1≥a（x﹣lnx），
令t＝t（x）＝x﹣lnx，则t（x）′＝1﹣＝，
所以当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，t（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，t（x）单调递增，
所以t＝t（x）≥t（1）＝1，
若ex﹣lnx﹣1≥a（x﹣lnx）对任意x＞0恒成立，
则a≤＝恒成立，
设g（t）＝，t≥1，则g′（t）＝≥0，
所以当t∈[1，+∞）时，g（t）单调递增，
所以g（t）≥g（1）＝1，
所以a≤1，
所以若f（x）≥g（x）+x恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．