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2020-2021学年湖南省岳阳市岳阳县一中高一（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年湖南省岳阳市岳阳县一中高一（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省岳阳市岳阳县一中高一（下）期末数学试卷
一、选择题：（共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）已知i为虚数单位，（1﹣i）z＝2，则复平面上z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知为单位向量，，当向量，的夹角等于30°时，向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）设0＜x＜，记a＝sinx，b＝esinx，c＝lnsinx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
4．（5分）从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）在△ABC中，若BC＝8，cos∠BAC＝，则△ABC外接圆的直径为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
6．（5分）《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF，其中AB∥DC∥EF，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n（如图）．已知a＝3，b＝2，c＝1，m＝2，n＝1，则此“羡除”的体积为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．（5分）已知函数f（x）＝sinxcosx+sin2x﹣cos2x，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于点（，0）对称
B．f（x）在[]上的值域为[，2]
C．若f（x1）＝f（x2）＝2，则x1﹣x2＝2kπ，k∈Z
D．将f（x）的图象向右平移个单位得g（x）＝﹣2cos2x的图象
8．（5分）已知球O的半径，三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，且PA＝AC＝BC＝3，则三棱锥P﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：（共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分。部分选对的得2分）
9．（5分）某集团公司经过五年的产业结构调整，优化产业结构使集团营业收入不断增长，公司今年的年收入比五年前翻了两番．为了更好地分析各工厂的产值变化情况，统计前后产值占比情况，得到如图所示的饼图：
则下列结论正确的是（ ）
A．产业结构调整后生物制药的收入增幅最快
B．产业结构调整后食品加工的收入是超过调整前金融产业的收入
C．产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入
D．产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有降低
10．（5分）已知平面向量，，都是单位向量，且•＝0，则（﹣）•（﹣）的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
11．（5分）已知函数f（x）＝，下面说法正确的有（ ）
A．f（x）图象关于原点对称
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的值域为（﹣1，1）
D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立
12．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1．E是边CD中点，将△ADE沿AE翻折，得到四棱锥D1﹣ABCE，在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．BC∥面AD1E
B．AE⊥CD1
C．三棱锥D1﹣ABC体积的最大值是
D．点C到面ABD1距离的最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为 ．
14．（5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，采取“5局3胜制”，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立，则恰好4局决出胜负的概率为 ．
15．（5分）若函数f（x）＝2lnx+x2+a﹣2在上（1，e）有零点，则实数a的取值范围为 ．
16．（5分）已知四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D的大小为60°，且AB＝2，CD＝4，∠CBD＝120°，则四面体ABCD体积的最大值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知||＝4，＝（﹣1，）．
（1）若∥，求的坐标；
（2）若与的夹角为120°，求|﹣|．
18．（12分）设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
22．（12分）为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入可变成本C（x）万元，在年产量不足8万件时，C（x）＝x2+3x（万元），在年产量不小于8万件时，C（x）＝8x+﹣37（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．
（1）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润＝年销售收入一固定成本一可变成本）；
（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
2020-2021学年湖南省岳阳市岳阳县一中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）已知i为虚数单位，（1﹣i）z＝2，则复平面上z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先由（1﹣i）z＝2求得z，然后可确定复平面上z对应的点所在象限．
【解答】解：首先由（1﹣i）z＝2求得z＝＝＝1+i，
对应点为（1，1），在第一象限．
故选：A．
2．（5分）已知为单位向量，，当向量，的夹角等于30°时，向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过投影公式进行计算即可
【解答】解：由定义可得向量在向量上的投影为＝＝＝2，
所以向量在向量上的投影向量为2，
故选：A．
3．（5分）设0＜x＜，记a＝sinx，b＝esinx，c＝lnsinx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【分析】分别判断a，b，c的大小即可得到结论．
【解答】解：∵0＜x＜，
∴0＜sinx＜1，
则lnsinx＜0，1＜esinx＜e，
即c＜0，0＜a＜1，1＜b＜e，
故c＜a＜b，
故选：D．
4．（5分）从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是＝．
故选：B．
5．（5分）在△ABC中，若BC＝8，cos∠BAC＝，则△ABC外接圆的直径为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BAC的值，进而根据正弦定理可得△ABC外接圆的直径的值．
【解答】解：因为cos∠BAC＝，BC＝8，
所以sin∠BAC＝＝，
则由正弦定理可得△ABC外接圆的直径的值为＝6．
故选：B．
6．（5分）《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF，其中AB∥DC∥EF，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n（如图）．已知a＝3，b＝2，c＝1，m＝2，n＝1，则此“羡除”的体积为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】在AB上取点G，在CD上取点H，使BG＝CH＝EF＝1，连接GH，GE，EH，则AG＝2，DH＝1，则此“羡除”的体积为V＝VE﹣AGHD+VEHG﹣FBC．
【解答】解：如图，在AB上取点G，在CD上取点H，使BG＝CH＝EF＝1，
连接GH，GE，EH，则AG＝2，DH＝1，
∴此“羡除”的体积为：
V＝VE﹣AGHD+VEHG﹣FBC
＝+
＝2．
故选：A．
7．（5分）已知函数f（x）＝sinxcosx+sin2x﹣cos2x，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于点（，0）对称
B．f（x）在[]上的值域为[，2]
C．若f（x1）＝f（x2）＝2，则x1﹣x2＝2kπ，k∈Z
D．将f（x）的图象向右平移个单位得g（x）＝﹣2cos2x的图象
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简f（x），得到，再利用正弦函数的图象与性质进行判断即可．
【解答】解：，
A选项，，所以A选项错误．
B选项，当时，，f（x）∈[1，2]，所以B选项错误．
C选项，因为f（x）的最小正周期为π，所以x1﹣x2＝kπ，k∈Z，所以C选项错误．
D选项，，所以D选项正确．
故选：D．
8．（5分）已知球O的半径，三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，且PA＝AC＝BC＝3，则三棱锥P﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，由勾股定理求得底面三角形ABC的外接圆的半径，再由正弦定理求解sin∠ABC，可得AB，求出三角形ABC的面积，代入棱锥体积公式求解．
【解答】解：设底面三角形ABC的外接圆的圆心为G，三棱锥的外接球的球心为O，
连接OG，OC，GC，则△OGC为直角三角形，
由题意可得，OC＝，OG＝PA＝，
设底面三角形ABC外接圆的半径为r，则．
在△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ABC＝，
延长CG交AB于D，∵AC＝BC，∴CD⊥AB，且D为AB的中点，
可得CD＝BC•sin∠ABC＝2．
∴BD＝，
则AB＝2BD＝，
∴，
∴三棱锥P﹣ABC的体积为V＝．
故选：A．
二、选择题：（共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分。部分选对的得2分）
9．（5分）某集团公司经过五年的产业结构调整，优化产业结构使集团营业收入不断增长，公司今年的年收入比五年前翻了两番．为了更好地分析各工厂的产值变化情况，统计前后产值占比情况，得到如图所示的饼图：
则下列结论正确的是（ ）
A．产业结构调整后生物制药的收入增幅最快
B．产业结构调整后食品加工的收入是超过调整前金融产业的收入
C．产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入
D．产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有降低
【分析】设五年前年收入为a，则今年的年收入为22a＝4a，根据饼形图得五年前金融产业产值为0.45a，机械加工产业产值为0.15a，食品加工产业产值为0.18a，生物制药产业产值为0.22a，今年金融产业产值为0.6a，机械加工产业产值为a，食品加工产业产值为0.6a，生物制药产业产值为1.8a，由以上数据计算得到结果．
【解答】解：∵公司今年的年收入比五年前翻了两番，
∴设五年前年收入为a，则今年的年收入为22a＝4a，
根据饼形图得五年前金融产业产值为0.45a，
机械加工产业产值为0.15a，食品加工产业产值为0.18a，
生物制药产业产值为0.22a，今年金融产业产值为0.6a，
机械加工产业产值为a，食品加工产业产值为0.6a，
生物制药产业产值为1.8a，
由以上数据计算得到产业结构调整后生物制约的收入增幅最快，故A正确；
产业结构调整后食品加工产业收入的调整前金融产业收入的，故选项B正确；
产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入，故C正确；
产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有升高，故D错误．
故选：ABC．
10．（5分）已知平面向量，，都是单位向量，且•＝0，则（﹣）•（﹣）的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】本题先根据题干已知条件计算出||＝，再根据向量的运算法则计算得到（﹣）•（﹣）＝1﹣cos＜，＞，然后根据根据两向量夹角的取值范围为[0，π]，进行不等式的推导运算可得其取值范围，然后结合选项即可得到答案．
【解答】解：由题意，可知：||²＝||²+||²+2＝2，则||＝，
所以（﹣）•（﹣）＝﹣﹣+
＝0+1﹣（）•
＝1﹣||•||cos＜，＞
＝1﹣cos＜，＞
∵0≤＜，＞≤π，
∴﹣1≤cos＜，＞≤1，
∴﹣+1≤1﹣cos＜，＞≤+1，
∴﹣+1≤（﹣）•（﹣）≤+1，
∴0，1，2均在取值范围内，属于可能的值，
故选：ABD．
11．（5分）已知函数f（x）＝，下面说法正确的有（ ）
A．f（x）图象关于原点对称
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的值域为（﹣1，1）
D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立
【分析】根据指数幂的运算法则和指数函数的性质，分别判断函数的奇偶性，单调性和值域即可．
【解答】解：A．函数的定义域为R，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误．
C．f（x）＝＝＝1﹣，
∵2x＞0，∴1+2x＞1，0＜＜1，0＜＜2，﹣2＜﹣＜0，﹣1＜1﹣＜1，
即﹣1＜f（x）＜1，即函数f（x）的值域为（﹣1，1），故C正确，
D．f（x）＝＝＝1﹣，
∵y＝1+2x为增函数，y＝为减函数，y＝﹣为增函数，∴y＝1﹣为增函数，
则∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＞0恒成立，故D错误，
故正确的是AC，
故选：AC．
12．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1．E是边CD中点，将△ADE沿AE翻折，得到四棱锥D1﹣ABCE，在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．BC∥面AD1E
B．AE⊥CD1
C．三棱锥D1﹣ABC体积的最大值是
D．点C到面ABD1距离的最大值是
【分析】证明四边形ABCE是正方形，可得BC∥AE，再由直线与平面平行的判定证明BC∥平面AD1E判定A；证明线面垂直，再得直线与直线垂直判断B；在翻折过程中，当D1E⊥平面ABCE时，三棱锥D1﹣ABC的体积最大，求出三棱锥的最大体积判定C；作D1M⊥CE，垂足为M，作MN⊥AB，垂足为N，连接D1N，证明平面D1MN⊥平面ABCE，在△MND1中，作MH⊥D1N于H，可得MH⊥平面D1AB，即可得到MH为点C到到面ABD1距离，设D1M＝x，解三角形把MH用含有x的函数表示，再由单调性求最值判断D．
【解答】解：由题意，CE＝CD＝AB＝1，且AB∥CE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCE是正方形，
∵BC∥AE，且BC⊄平面AD1E，AE⊂平面AD1E，
∴BC∥平面AD1E，即A正确；
在梯形ABCD中，AE⊥CD，翻折过程中，AE⊥CE，AE⊥ED1，
∵CE∩ED1＝E，∴AE⊥平面CED1，
∵CD1⊂平面CED1，∴AE⊥CD1，即B正确；
在翻折过程中，当D1E⊥平面ABCE时，三棱锥D1﹣ABC的体积最大，
∴该三棱锥体积的最大值V＝，即C错误，
作D1M⊥CE，垂足为M，作MN⊥AB，垂足为N，连接D1N，
由AE⊥平面CED1，可得AE⊥D1M，
∵AE∩EC＝E，且AE、EC⊂平面ABCE，
∴D1M⊥平面ABCE，而AB⊂平面ABCE，
∴D1M⊥AB，又∵AB⊥MN，且MN、D1M⊂平面MND1，
∴AB⊥平面MND1，∵AB⊂平面ABCE，
∴平面D1MN⊥平面ABCE，在△MND1中，作MH⊥D1N于H，
∵平面D1MN∩平面ABCE＝D1N，∴MH⊥平面D1AB．
由题意可知CE∥平面D1AB，可知MH为点C到到面ABD1距离，
设D1M＝x，则0＜x≤D1E，即0＜x≤1．
在△D1MN中，∠D1MN＝90°，MN＝1，，
∴MH＝，
函数y＝在（0，1]上单调递减，
∴，当x＝1时取得最大值．
∴点C到到面ABD1距离的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为 26 ．
【分析】利用分层抽样的比例关系”在样本和总体中，武术小组的人数占比相等”列式求解．
【解答】解：因为书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，
所以得到武术小组占总人数的比值为，
因为武术小组中抽取了6名学生，
根据分层抽样的特点可得，解得n＝26．
故答案为：26．
14．（5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，采取“5局3胜制”，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立，则恰好4局决出胜负的概率为 ．
【分析】恰好4局决出胜负的情况是：前3局甲2胜1负，第4局甲胜或前3局乙2胜1负，第4局乙胜，由此能求出恰好4局决出胜负的概率．
【解答】解：甲乙两人进行乒乓球比赛，采取“5局3胜制”，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
且每场比赛的结果相互独立，
恰好4局决出胜负的情况是：前3局甲2胜1负，第4局甲胜或前3局乙2胜1负，第4局乙胜，
则恰好4局决出胜负的概率为：
P＝+＝．
故答案为：．
15．（5分）若函数f（x）＝2lnx+x2+a﹣2在上（1，e）有零点，则实数a的取值范围为 （﹣e2，1） ．
【分析】判断函数的单调性，结合零点判断定理，列出不等式组，求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝2lnx+x2+a﹣2在（1，e）上是增函数，
所以函数f（x）＝2lnx+x2+a﹣2在（1，e）上有零点，
可得（1+a﹣2）（2+e2+a﹣2）＜0，
解得：﹣e2＜a＜1，
则实数a的取值范围为：（﹣e2，1）．
故答案为：（﹣e2，1）．
16．（5分）已知四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D的大小为60°，且AB＝2，CD＝4，∠CBD＝120°，则四面体ABCD体积的最大值是 ．
【分析】在△BCD中，利用余弦定理得到CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD•cos120°，然后利用基本不等式求出BD•BC的最大值，从而得到△BCD面积的最大值，再利用二面角得到点A到平面BCD距离的最大值，求解即可得到答案．
【解答】解：在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD•cos120°，
即42＝BC2+BD2+BC•BD≥2BC•BD+BC•BD＝3BC•BD，
∴BC•BD≤，当且仅当BC＝BD时取等号，
∴S△BCD＝•BC•BD•sin120°≤××＝，
又∵二面角A﹣BC﹣D的大小为60°，
∴点A到平面BCD的距离的最大值为h＝2sin60°＝，
故四面体ABCD体积的最大值为××＝，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知||＝4，＝（﹣1，）．
（1）若∥，求的坐标；
（2）若与的夹角为120°，求|﹣|．
【分析】（1）设＝（x，y），利用||＝4，∥，可得，解出x，y即可；
（2）根据条件可求得，利用向量模的公式即可求得答案．
【解答】解：（1）设＝（x，y），则，解得或，
所以＝（2，﹣2）或＝（﹣2，2）；
，
∴，
∴|﹣|²＝||²+||²﹣2＝16+4+8＝28，
∴．
18．（12分）设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）＝0求出ω的值；
（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）
＝sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）
＝sinωx﹣cosωx
＝sin（ωx﹣），
又f（）＝sin（ω﹣）＝0，
∴ω﹣＝kπ，k∈Z，
解得ω＝6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω＝2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），
将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（x﹣）的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，
∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；
当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，
∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，
∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
【分析】法一：
（1）连结B1C，ME，推导出四边形MNDE是平行四边形，从而MN∥ED，由此能证明MN∥平面C1DE．
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，推导出DE⊥BC，DE⊥C1C，从而DE⊥平面C1CE，DE⊥CH，进而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，由此能求出点C到平面C1DE的距离．
法二：（1）以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面C1DE．
（2）求出＝（﹣1，，0），平面C1DE的法向量＝（4，0，1），利用向量法能求出点C到平面C1DE的距离．
【解答】解法一：
证明：（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，
∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝A1D，
由题设知A1B1DC，∴B1CA1D，∴MEND，
∴四边形MNDE是平行四边形，
MN∥ED，
又MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．
解：（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，
∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，
∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，
由已知可得CE＝1，CC1＝4，
∴C1E＝，故CH＝，
∴点C到平面C1DE的距离为．
解法二：
证明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，
以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
M（1，，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，，0），C1（﹣1，，4），
＝（0，﹣，0），＝（﹣1，），＝（0，），
设平面C1DE的法向量＝（x，y，z），
则，
取z＝1，得＝（4，0，1），
∵•＝0，MN⊄平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE．
解：（2）C（﹣1，，0），＝（﹣1，，0），
平面C1DE的法向量＝（4，0，1），
∴点C到平面C1DE的距离：
d＝＝＝．
20．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【分析】（Ⅰ）根据频率＝组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；
（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10＝0.4
故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，
故样本中分数小于40的频率为：0.05，
则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05＝0.05，
估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05＝20人，
（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，
由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．
故分数不小于70的男生的频率为：0.3，
由样本中有一半男生的分数不小于70，
故男生的频率为：0.6，
即女生的频率为：0.4，
即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．
21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，
（2）根据两角余弦公式可得cosA＝，即可求出A＝，再根据正弦定理可得bc＝8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．
【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝acsinB＝，
∴3csinBsinA＝2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC＝；
（2）∵6cosBcosC＝1，
∴cosBcosC＝，
∴cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣＝﹣，
∴cos（B+C）＝﹣，
∴cosA＝，
∵0＜A＜π，
∴A＝，
∵＝＝＝2R＝＝2，
∴sinBsinC＝•＝＝＝，
∴bc＝8，
∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣bc＝9，
∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，
∴b+c＝
∴周长a+b+c＝3+．
22．（12分）为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入可变成本C（x）万元，在年产量不足8万件时，C（x）＝x2+3x（万元），在年产量不小于8万件时，C（x）＝8x+﹣37（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．
（1）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润＝年销售收入一固定成本一可变成本）；
（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据已知条件，分0＜x≤8，x＞8两种情况列出解析式，即可求解．
（2）根据（1）的解析式，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）当0＜x≤8时，f（x）＝＝，
当x＞8时，＝，
∴．
（2）当0＜x≤8时，f（x）＝＝，当x＝6时，f（x）取得最大值f（6）＝10，
当x＞8时，∵，
∴，当且仅当x＝时，即x＝10，等号成立，
∴f（x）＝，当且仅当x＝10时，f（x）＝15，
故当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
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日期：2021/9/13 21:21:45；用户：卿老师；邮箱：qjytjy01@xyh.com；学号：41045408
2020-2021学年湖南省岳阳市岳阳县一中高一（下）期末数学试卷
一、选择题：（共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）已知i为虚数单位，（1﹣i）z＝2，则复平面上z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知为单位向量，，当向量，的夹角等于30°时，向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）设0＜x＜，记a＝sinx，b＝esinx，c＝lnsinx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
4．（5分）从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）在△ABC中，若BC＝8，cos∠BAC＝，则△ABC外接圆的直径为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
6．（5分）《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF，其中AB∥DC∥EF，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n（如图）．已知a＝3，b＝2，c＝1，m＝2，n＝1，则此“羡除”的体积为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．（5分）已知函数f（x）＝sinxcosx+sin2x﹣cos2x，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于点（，0）对称
B．f（x）在[]上的值域为[，2]
C．若f（x1）＝f（x2）＝2，则x1﹣x2＝2kπ，k∈Z
D．将f（x）的图象向右平移个单位得g（x）＝﹣2cos2x的图象
8．（5分）已知球O的半径，三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，且PA＝AC＝BC＝3，则三棱锥P﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：（共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分。部分选对的得2分）
9．（5分）某集团公司经过五年的产业结构调整，优化产业结构使集团营业收入不断增长，公司今年的年收入比五年前翻了两番．为了更好地分析各工厂的产值变化情况，统计前后产值占比情况，得到如图所示的饼图：
则下列结论正确的是（ ）
A．产业结构调整后生物制药的收入增幅最快
B．产业结构调整后食品加工的收入是超过调整前金融产业的收入
C．产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入
D．产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有降低
10．（5分）已知平面向量，，都是单位向量，且•＝0，则（﹣）•（﹣）的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
11．（5分）已知函数f（x）＝，下面说法正确的有（ ）
A．f（x）图象关于原点对称
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的值域为（﹣1，1）
D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立
12．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1．E是边CD中点，将△ADE沿AE翻折，得到四棱锥D1﹣ABCE，在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．BC∥面AD1E
B．AE⊥CD1
C．三棱锥D1﹣ABC体积的最大值是
D．点C到面ABD1距离的最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为 ．
14．（5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，采取“5局3胜制”，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立，则恰好4局决出胜负的概率为 ．
15．（5分）若函数f（x）＝2lnx+x2+a﹣2在上（1，e）有零点，则实数a的取值范围为 ．
16．（5分）已知四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D的大小为60°，且AB＝2，CD＝4，∠CBD＝120°，则四面体ABCD体积的最大值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知||＝4，＝（﹣1，）．
（1）若∥，求的坐标；
（2）若与的夹角为120°，求|﹣|．
18．（12分）设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
22．（12分）为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入可变成本C（x）万元，在年产量不足8万件时，C（x）＝x2+3x（万元），在年产量不小于8万件时，C（x）＝8x+﹣37（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．
（1）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润＝年销售收入一固定成本一可变成本）；
（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
2020-2021学年湖南省岳阳市岳阳县一中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）已知i为虚数单位，（1﹣i）z＝2，则复平面上z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先由（1﹣i）z＝2求得z，然后可确定复平面上z对应的点所在象限．
【解答】解：首先由（1﹣i）z＝2求得z＝＝＝1+i，
对应点为（1，1），在第一象限．
故选：A．
2．（5分）已知为单位向量，，当向量，的夹角等于30°时，向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过投影公式进行计算即可
【解答】解：由定义可得向量在向量上的投影为＝＝＝2，
所以向量在向量上的投影向量为2，
故选：A．
3．（5分）设0＜x＜，记a＝sinx，b＝esinx，c＝lnsinx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【分析】分别判断a，b，c的大小即可得到结论．
【解答】解：∵0＜x＜，
∴0＜sinx＜1，
则lnsinx＜0，1＜esinx＜e，
即c＜0，0＜a＜1，1＜b＜e，
故c＜a＜b，
故选：D．
4．（5分）从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是＝．
故选：B．
5．（5分）在△ABC中，若BC＝8，cos∠BAC＝，则△ABC外接圆的直径为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BAC的值，进而根据正弦定理可得△ABC外接圆的直径的值．
【解答】解：因为cos∠BAC＝，BC＝8，
所以sin∠BAC＝＝，
则由正弦定理可得△ABC外接圆的直径的值为＝6．
故选：B．
6．（5分）《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF，其中AB∥DC∥EF，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n（如图）．已知a＝3，b＝2，c＝1，m＝2，n＝1，则此“羡除”的体积为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】在AB上取点G，在CD上取点H，使BG＝CH＝EF＝1，连接GH，GE，EH，则AG＝2，DH＝1，则此“羡除”的体积为V＝VE﹣AGHD+VEHG﹣FBC．
【解答】解：如图，在AB上取点G，在CD上取点H，使BG＝CH＝EF＝1，
连接GH，GE，EH，则AG＝2，DH＝1，
∴此“羡除”的体积为：
V＝VE﹣AGHD+VEHG﹣FBC
＝+
＝2．
故选：A．
7．（5分）已知函数f（x）＝sinxcosx+sin2x﹣cos2x，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于点（，0）对称
B．f（x）在[]上的值域为[，2]
C．若f（x1）＝f（x2）＝2，则x1﹣x2＝2kπ，k∈Z
D．将f（x）的图象向右平移个单位得g（x）＝﹣2cos2x的图象
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简f（x），得到，再利用正弦函数的图象与性质进行判断即可．
【解答】解：，
A选项，，所以A选项错误．
B选项，当时，，f（x）∈[1，2]，所以B选项错误．
C选项，因为f（x）的最小正周期为π，所以x1﹣x2＝kπ，k∈Z，所以C选项错误．
D选项，，所以D选项正确．
故选：D．
8．（5分）已知球O的半径，三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，且PA＝AC＝BC＝3，则三棱锥P﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，由勾股定理求得底面三角形ABC的外接圆的半径，再由正弦定理求解sin∠ABC，可得AB，求出三角形ABC的面积，代入棱锥体积公式求解．
【解答】解：设底面三角形ABC的外接圆的圆心为G，三棱锥的外接球的球心为O，
连接OG，OC，GC，则△OGC为直角三角形，
由题意可得，OC＝，OG＝PA＝，
设底面三角形ABC外接圆的半径为r，则．
在△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ABC＝，
延长CG交AB于D，∵AC＝BC，∴CD⊥AB，且D为AB的中点，
可得CD＝BC•sin∠ABC＝2．
∴BD＝，
则AB＝2BD＝，
∴，
∴三棱锥P﹣ABC的体积为V＝．
故选：A．
二、选择题：（共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分。部分选对的得2分）
9．（5分）某集团公司经过五年的产业结构调整，优化产业结构使集团营业收入不断增长，公司今年的年收入比五年前翻了两番．为了更好地分析各工厂的产值变化情况，统计前后产值占比情况，得到如图所示的饼图：
则下列结论正确的是（ ）
A．产业结构调整后生物制药的收入增幅最快
B．产业结构调整后食品加工的收入是超过调整前金融产业的收入
C．产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入
D．产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有降低
【分析】设五年前年收入为a，则今年的年收入为22a＝4a，根据饼形图得五年前金融产业产值为0.45a，机械加工产业产值为0.15a，食品加工产业产值为0.18a，生物制药产业产值为0.22a，今年金融产业产值为0.6a，机械加工产业产值为a，食品加工产业产值为0.6a，生物制药产业产值为1.8a，由以上数据计算得到结果．
【解答】解：∵公司今年的年收入比五年前翻了两番，
∴设五年前年收入为a，则今年的年收入为22a＝4a，
根据饼形图得五年前金融产业产值为0.45a，
机械加工产业产值为0.15a，食品加工产业产值为0.18a，
生物制药产业产值为0.22a，今年金融产业产值为0.6a，
机械加工产业产值为a，食品加工产业产值为0.6a，
生物制药产业产值为1.8a，
由以上数据计算得到产业结构调整后生物制约的收入增幅最快，故A正确；
产业结构调整后食品加工产业收入的调整前金融产业收入的，故选项B正确；
产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入，故C正确；
产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有升高，故D错误．
故选：ABC．
10．（5分）已知平面向量，，都是单位向量，且•＝0，则（﹣）•（﹣）的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】本题先根据题干已知条件计算出||＝，再根据向量的运算法则计算得到（﹣）•（﹣）＝1﹣cos＜，＞，然后根据根据两向量夹角的取值范围为[0，π]，进行不等式的推导运算可得其取值范围，然后结合选项即可得到答案．
【解答】解：由题意，可知：||²＝||²+||²+2＝2，则||＝，
所以（﹣）•（﹣）＝﹣﹣+
＝0+1﹣（）•
＝1﹣||•||cos＜，＞
＝1﹣cos＜，＞
∵0≤＜，＞≤π，
∴﹣1≤cos＜，＞≤1，
∴﹣+1≤1﹣cos＜，＞≤+1，
∴﹣+1≤（﹣）•（﹣）≤+1，
∴0，1，2均在取值范围内，属于可能的值，
故选：ABD．
11．（5分）已知函数f（x）＝，下面说法正确的有（ ）
A．f（x）图象关于原点对称
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的值域为（﹣1，1）
D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立
【分析】根据指数幂的运算法则和指数函数的性质，分别判断函数的奇偶性，单调性和值域即可．
【解答】解：A．函数的定义域为R，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误．
C．f（x）＝＝＝1﹣，
∵2x＞0，∴1+2x＞1，0＜＜1，0＜＜2，﹣2＜﹣＜0，﹣1＜1﹣＜1，
即﹣1＜f（x）＜1，即函数f（x）的值域为（﹣1，1），故C正确，
D．f（x）＝＝＝1﹣，
∵y＝1+2x为增函数，y＝为减函数，y＝﹣为增函数，∴y＝1﹣为增函数，
则∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＞0恒成立，故D错误，
故正确的是AC，
故选：AC．
12．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1．E是边CD中点，将△ADE沿AE翻折，得到四棱锥D1﹣ABCE，在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．BC∥面AD1E
B．AE⊥CD1
C．三棱锥D1﹣ABC体积的最大值是
D．点C到面ABD1距离的最大值是
【分析】证明四边形ABCE是正方形，可得BC∥AE，再由直线与平面平行的判定证明BC∥平面AD1E判定A；证明线面垂直，再得直线与直线垂直判断B；在翻折过程中，当D1E⊥平面ABCE时，三棱锥D1﹣ABC的体积最大，求出三棱锥的最大体积判定C；作D1M⊥CE，垂足为M，作MN⊥AB，垂足为N，连接D1N，证明平面D1MN⊥平面ABCE，在△MND1中，作MH⊥D1N于H，可得MH⊥平面D1AB，即可得到MH为点C到到面ABD1距离，设D1M＝x，解三角形把MH用含有x的函数表示，再由单调性求最值判断D．
【解答】解：由题意，CE＝CD＝AB＝1，且AB∥CE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCE是正方形，
∵BC∥AE，且BC⊄平面AD1E，AE⊂平面AD1E，
∴BC∥平面AD1E，即A正确；
在梯形ABCD中，AE⊥CD，翻折过程中，AE⊥CE，AE⊥ED1，
∵CE∩ED1＝E，∴AE⊥平面CED1，
∵CD1⊂平面CED1，∴AE⊥CD1，即B正确；
在翻折过程中，当D1E⊥平面ABCE时，三棱锥D1﹣ABC的体积最大，
∴该三棱锥体积的最大值V＝，即C错误，
作D1M⊥CE，垂足为M，作MN⊥AB，垂足为N，连接D1N，
由AE⊥平面CED1，可得AE⊥D1M，
∵AE∩EC＝E，且AE、EC⊂平面ABCE，
∴D1M⊥平面ABCE，而AB⊂平面ABCE，
∴D1M⊥AB，又∵AB⊥MN，且MN、D1M⊂平面MND1，
∴AB⊥平面MND1，∵AB⊂平面ABCE，
∴平面D1MN⊥平面ABCE，在△MND1中，作MH⊥D1N于H，
∵平面D1MN∩平面ABCE＝D1N，∴MH⊥平面D1AB．
由题意可知CE∥平面D1AB，可知MH为点C到到面ABD1距离，
设D1M＝x，则0＜x≤D1E，即0＜x≤1．
在△D1MN中，∠D1MN＝90°，MN＝1，，
∴MH＝，
函数y＝在（0，1]上单调递减，
∴，当x＝1时取得最大值．
∴点C到到面ABD1距离的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为 26 ．
【分析】利用分层抽样的比例关系”在样本和总体中，武术小组的人数占比相等”列式求解．
【解答】解：因为书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，
所以得到武术小组占总人数的比值为，
因为武术小组中抽取了6名学生，
根据分层抽样的特点可得，解得n＝26．
故答案为：26．
14．（5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，采取“5局3胜制”，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立，则恰好4局决出胜负的概率为 ．
【分析】恰好4局决出胜负的情况是：前3局甲2胜1负，第4局甲胜或前3局乙2胜1负，第4局乙胜，由此能求出恰好4局决出胜负的概率．
【解答】解：甲乙两人进行乒乓球比赛，采取“5局3胜制”，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
且每场比赛的结果相互独立，
恰好4局决出胜负的情况是：前3局甲2胜1负，第4局甲胜或前3局乙2胜1负，第4局乙胜，
则恰好4局决出胜负的概率为：
P＝+＝．
故答案为：．
15．（5分）若函数f（x）＝2lnx+x2+a﹣2在上（1，e）有零点，则实数a的取值范围为 （﹣e2，1） ．
【分析】判断函数的单调性，结合零点判断定理，列出不等式组，求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝2lnx+x2+a﹣2在（1，e）上是增函数，
所以函数f（x）＝2lnx+x2+a﹣2在（1，e）上有零点，
可得（1+a﹣2）（2+e2+a﹣2）＜0，
解得：﹣e2＜a＜1，
则实数a的取值范围为：（﹣e2，1）．
故答案为：（﹣e2，1）．
16．（5分）已知四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D的大小为60°，且AB＝2，CD＝4，∠CBD＝120°，则四面体ABCD体积的最大值是 ．
【分析】在△BCD中，利用余弦定理得到CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD•cos120°，然后利用基本不等式求出BD•BC的最大值，从而得到△BCD面积的最大值，再利用二面角得到点A到平面BCD距离的最大值，求解即可得到答案．
【解答】解：在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD•cos120°，
即42＝BC2+BD2+BC•BD≥2BC•BD+BC•BD＝3BC•BD，
∴BC•BD≤，当且仅当BC＝BD时取等号，
∴S△BCD＝•BC•BD•sin120°≤××＝，
又∵二面角A﹣BC﹣D的大小为60°，
∴点A到平面BCD的距离的最大值为h＝2sin60°＝，
故四面体ABCD体积的最大值为××＝，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知||＝4，＝（﹣1，）．
（1）若∥，求的坐标；
（2）若与的夹角为120°，求|﹣|．
【分析】（1）设＝（x，y），利用||＝4，∥，可得，解出x，y即可；
（2）根据条件可求得，利用向量模的公式即可求得答案．
【解答】解：（1）设＝（x，y），则，解得或，
所以＝（2，﹣2）或＝（﹣2，2）；
，
∴，
∴|﹣|²＝||²+||²﹣2＝16+4+8＝28，
∴．
18．（12分）设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）＝0求出ω的值；
（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）
＝sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）
＝sinωx﹣cosωx
＝sin（ωx﹣），
又f（）＝sin（ω﹣）＝0，
∴ω﹣＝kπ，k∈Z，
解得ω＝6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω＝2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），
将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（x﹣）的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，
∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；
当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，
∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，
∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
【分析】法一：
（1）连结B1C，ME，推导出四边形MNDE是平行四边形，从而MN∥ED，由此能证明MN∥平面C1DE．
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，推导出DE⊥BC，DE⊥C1C，从而DE⊥平面C1CE，DE⊥CH，进而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，由此能求出点C到平面C1DE的距离．
法二：（1）以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面C1DE．
（2）求出＝（﹣1，，0），平面C1DE的法向量＝（4，0，1），利用向量法能求出点C到平面C1DE的距离．
【解答】解法一：
证明：（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，
∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝A1D，
由题设知A1B1DC，∴B1CA1D，∴MEND，
∴四边形MNDE是平行四边形，
MN∥ED，
又MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．
解：（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，
∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，
∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，
由已知可得CE＝1，CC1＝4，
∴C1E＝，故CH＝，
∴点C到平面C1DE的距离为．
解法二：
证明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，
以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
M（1，，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，，0），C1（﹣1，，4），
＝（0，﹣，0），＝（﹣1，），＝（0，），
设平面C1DE的法向量＝（x，y，z），
则，
取z＝1，得＝（4，0，1），
∵•＝0，MN⊄平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE．
解：（2）C（﹣1，，0），＝（﹣1，，0），
平面C1DE的法向量＝（4，0，1），
∴点C到平面C1DE的距离：
d＝＝＝．
20．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【分析】（Ⅰ）根据频率＝组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；
（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10＝0.4
故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，
故样本中分数小于40的频率为：0.05，
则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05＝0.05，
估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05＝20人，
（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，
由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．
故分数不小于70的男生的频率为：0.3，
由样本中有一半男生的分数不小于70，
故男生的频率为：0.6，
即女生的频率为：0.4，
即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．
21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，
（2）根据两角余弦公式可得cosA＝，即可求出A＝，再根据正弦定理可得bc＝8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．
【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝acsinB＝，
∴3csinBsinA＝2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC＝；
（2）∵6cosBcosC＝1，
∴cosBcosC＝，
∴cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣＝﹣，
∴cos（B+C）＝﹣，
∴cosA＝，
∵0＜A＜π，
∴A＝，
∵＝＝＝2R＝＝2，
∴sinBsinC＝•＝＝＝，
∴bc＝8，
∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣bc＝9，
∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，
∴b+c＝
∴周长a+b+c＝3+．
22．（12分）为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入可变成本C（x）万元，在年产量不足8万件时，C（x）＝x2+3x（万元），在年产量不小于8万件时，C（x）＝8x+﹣37（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．
（1）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润＝年销售收入一固定成本一可变成本）；
（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据已知条件，分0＜x≤8，x＞8两种情况列出解析式，即可求解．
（2）根据（1）的解析式，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）当0＜x≤8时，f（x）＝＝，
当x＞8时，＝，
∴．
（2）当0＜x≤8时，f（x）＝＝，当x＝6时，f（x）取得最大值f（6）＝10，
当x＞8时，∵，
∴，当且仅当x＝时，即x＝10，等号成立，
∴f（x）＝，当且仅当x＝10时，f（x）＝15，
故当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
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日期：2021/9/13 21:21:45；用户：卿老师；邮箱：qjytjy01@xyh.com；学号：41045408
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