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2020-2021学年广东省深圳外国语学校高一（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年广东省深圳外国语学校高一（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省深圳外国语学校高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知i为虚数单位，则复数＝（ ）
A．i B．﹣i C．﹣i D．﹣i
2．（5分）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（ ）
A．所取的3个球中至少有一个白球
B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C．所取的3个球都是黑球
D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
3．（5分）已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
4．（5分）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．据说阿基米德对这个图最引以为自豪．在该图中，圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．2：1 B．：2 C．3：2 D．4：3
5．（5分）为了了解高二学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是（ ）
A．32人 B．27人 C．24人 D．33人
6．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥P﹣ABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝4，二面角P﹣BC﹣A为60°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为（ ）
A．16π B．20π C．π D．32π
7．（5分）已知O为正三角形ABC内一点，且满足+λ+（1+λ）＝，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．（5分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsinA，则cosA+sinC的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）已知复数z满足z（2﹣i）＝i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．
B．＝﹣
C．复数z的实部为﹣1
D．复数z对应复平面上的点在第二象限
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A．A：B：C＝a：b：c
B．＝
C．若sinA＜sinB，则A＜B
D．若sin2A＝sin2B，则a＝b
11．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则（ ）
A．点P与点B到平面DEF的距离相等
B．直线PB与直线DF垂直
C．三棱锥D﹣BEF的体积为18
D．平面DEF截三棱锥P﹣ABC所得的截面面积为12
12．（5分）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的有（ ）
A．＝﹣
B．+＝﹣
C．
D．在向量上的投影为﹣
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若向量，，与共线，则实数k＝ ．
14．（5分）一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为 ．
15．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为 ．
16．（5分）如图，在棱长为2的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（包括边界），若B1P∥平面A1BM，则C1P与底面ABCD所成角的正切值的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数k的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
18．（12分）如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（1）求证：GF∥平面ABC；
（2）求证：BC⊥平面ACD；
（3）求BD和平面ACD所成角的大小，
19．（12分）在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间．某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如表格：
潜伏期（单位：天）
[0，2]
（2，4]
（4，6]
（6，8]
（8，10]
（10，12]
（12，14]
人
数
60岁及以上
2
5
8
7
5
2
1
60岁以下
0
2
2
4
9
2
1
（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
20．（12分）①cosB＝2﹣2sincos，
②bsinC＝ccosB，
③（b+a）（b﹣a）＝c2﹣ac三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝4，c＝b，_____，
（1）求B；
（2）求△ABC的面积．
21．（12分）某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满1000元，可参与抽奖，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球．小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金20元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金10元；若抽到其余编号的小球，则不中奖．现某顾客依次有放回的抽奖两次．
（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；
（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为20元的概率．
22．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为a，E，F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF＝x．
（1）当x为何值时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大？
（2）求三棱锥B1﹣BEF的体积最大时，二面角B1﹣EF﹣B的正切值；
（3）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围．
2020-2021学年广东省深圳外国语学校高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知i为虚数单位，则复数＝（ ）
A．i B．﹣i C．﹣i D．﹣i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：＝．
故选：A．
2．（5分）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（ ）
A．所取的3个球中至少有一个白球
B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C．所取的3个球都是黑球
D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
【分析】事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1白，由此能求出与事件A互斥的事件．
【解答】解：从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，
事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1白，
∴与事件A互斥的事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球．
故选：B．
3．（5分）已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
【分析】A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定；
B，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或异面，；
C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定判定；
D，根据面面垂直的判定；
【解答】解：对于A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定A正确；
对于B，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或异面，故错；
对于C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定，可知C正确；
对于D，根据面面垂直的判定，可D正确；
故选：B．
4．（5分）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．据说阿基米德对这个图最引以为自豪．在该图中，圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．2：1 B．：2 C．3：2 D．4：3
【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理运算即可得到结果．
【解答】解：由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R，
圆柱的高h＝2R，则V球＝πR3，
V柱＝πr2h＝π•R2•2R＝2πR3．
∴＝＝．
故选：C．
5．（5分）为了了解高二学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是（ ）
A．32人 B．27人 C．24人 D．33人
【分析】根据题意可得该班六个分数段的概率比例依次为2：3：5：6：3：1，进而得到成绩在（80，90）与（90，100）之间的学生人数的概率，即可得到答案．
【解答】解：由题意可得：从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，
所以（60，70），（70，80），（80，90），（90，100），（100，110），（110，120）各分数段的概率之比为2：3：5：6：3：1，
所以该班学生数学成绩在（80，90）与（90，100）之间的学生人数的概率分别为：．
所以该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是：60×＝33．
故选：D．
6．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥P﹣ABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝4，二面角P﹣BC﹣A为60°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为（ ）
A．16π B．20π C．π D．32π
【分析】由题意可得∠PBA为二面角P﹣BC﹣A是60°，进而由题意可得PA的长度，再由题意可得四棱锥P﹣ABCD的外接球就是以AB，AD，AP为邻边的长方体的三条棱的外接球，有长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．
【解答】解因为底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，AB⊥BC，而PA∩AB＝A，所以BC⊥面PAB，所以BC⊥PB，
所以∠PBA为面角P﹣BC﹣A为60°，即∠PBA＝60°，
在△PAB中，PA＝AB•tan60°＝2•＝2，
由题意可得四棱锥P﹣ABCD的外接球就是以AB，AD，AP为邻边的长方体的三条棱的外接球，设外接球的半径为R，
则2R＝＝＝，
所以四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积S＝4πR2＝32π，
故选：D．
7．（5分）已知O为正三角形ABC内一点，且满足+λ+（1+λ）＝，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到①；由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到＝，②．由①②可得O分DE所成的比，从而得出λ的值．
【解答】解：，
变为．
如图，D，E分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知
故①
在正三角形ABC中，
∵＝＝，
且三角形AOC与三角形ADC同底边AC，
故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一，
故＝，⇒＝﹣②
由①②得λ＝．
故选：A．
8．（5分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsinA，则cosA+sinC的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，确定出B的度数，进而表示出A+C的度数，用A表示出C，代入所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出范围即可．
【解答】解：已知等式a＝2bsinA利用正弦定理化简得：sinA＝2sinBsinA，
∵sinA≠0，
∴sinB＝，
∵B为锐角，
∴B＝30°，即A+C＝150°，
∴cosA+sinC＝cosA+sin（150°﹣A）＝cosA+cosA+sinA＝cosA+sinA＝（cosA+sinA）＝sin（A+60°），
∵60°＜A＜90°，
∴120°＜A+60°＜150°，
∴＜sin（A+60°）＜，即＜sin（A+60°）＜，
则cosA+sinC的取值范围是（，）．
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）已知复数z满足z（2﹣i）＝i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．
B．＝﹣
C．复数z的实部为﹣1
D．复数z对应复平面上的点在第二象限
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由z（2﹣i）＝i，得z＝，
∴|z|＝＝，故A错误；
，故B正确；
复数z的实部为﹣，故C错误；
复数z对应复平面上的点的坐标为（，），在第二象限，故D正确．
故选：BD．
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A．A：B：C＝a：b：c
B．＝
C．若sinA＜sinB，则A＜B
D．若sin2A＝sin2B，则a＝b
【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项即可求解．
【解答】解：对于A，若A＝，B＝，C＝，可得A：B：C＝：：＝3：2：1，
由正弦定理，可得a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝1：：＝2：：1，
则A：B：C≠a：b：c，故A错误；
对于B，由正弦定理，
可得右边＝＝＝2R＝左边，故B正确；
对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sinA＜sinB
⇔a＜b
⇔A＜B，
因此，在△ABC中，A＜B是sinA＞sinB的充要条件，故C正确；
对于D，由sin2A＝sin2B，可得A＝B，或2A+2B＝π，即A＝B，或A+B＝，
所以：a＝b，或a2+b2＝c2，故D错误；
故选：BC．
11．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则（ ）
A．点P与点B到平面DEF的距离相等
B．直线PB与直线DF垂直
C．三棱锥D﹣BEF的体积为18
D．平面DEF截三棱锥P﹣ABC所得的截面面积为12
【分析】取PB的中点M，连接DM，FM，证明平面DEF即为平面MDEF，即可判断选项A，假设直线PB与直线DF垂直，然后利用线面垂直的判定定理和性质定理进行推理，即可判断选项B，利用锥体的体积公式进行求解，即可判断选项C，由截面为四边形DEFM是矩形，求解面积即可判断选项D．
【解答】解：对于A，取PB的中点M，连接DM，FM，
因为M、D、E、F分别为棱PB、PC、AC、AB的中点，
所以DM∥BC，EF∥BC，MF∥PA，DE∥PA，
故MF∥DE，EF∥MD，
则平面DEF即为平面MDEF，
故直线PB与平面MDEF相交于点M，且M为PB的中点，
所以点P与点B到平面DEF的距离相等，
故选项A正确；
对于B，假设直线PB与直线DF垂直，
因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
故PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，
则BC⊥PB，
因为EF∥BC，则EF⊥PB，
又PB⊥DF，且EF∩DF＝F，EF，DF⊂平面DEF，
则PB⊥平面DEF，这与AB⊥平面DEF矛盾，
所以假设不成立，则直线PB与直线DF不垂直，
故选项B错误；
对于C，因为D，E分别为PC，AC的中点，
则PA∥DE且DE＝，
又PA⊥平面ABC，则DE⊥平面ABC，
又EF＝4，BF＝3，
所以，
故选项C错误；
对于D，由选项A，可知平面DEF截三棱锥P﹣ABC所得的截面为四边形DEFM，
因为∠ABC＝90°，则四边形DEFM为矩形，
则，
所以S四边形DEFM＝2S△DEF＝12，
故选项D正确．
故选：AD．
12．（5分）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的有（ ）
A．＝﹣
B．+＝﹣
C．
D．在向量上的投影为﹣
【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．
【解答】解：图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，
对于A：＝1×1×cos＝﹣；故正确．
对于B：＝＝﹣，故正确．
对于C：∵||＝||，||＝||，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．
对于D：在向量上的投影||cos＝﹣||，||≠1，故错误．
故选：AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若向量，，与共线，则实数k＝ ．
【分析】利用向量坐标运算法则，求出与，再由向量共线的性质列方程，能求出k．
【解答】解：∵，，
∴，
，
∵与共线，
∴4k﹣（2k﹣1）＝0，解得．
故答案为：．
14．（5分）一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为 4.5 ．
【分析】因为10×80%＝8，将数据从小到大排序第8个数据和第9个数据的平均数为第80%分位数．
【解答】解：将数据从小到大排序：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，共10个数据．
因为10×80%＝8，所以第8个数据和第9个数据的平均数为第80%分位数，为．
故答案为：4.5．
15．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为 ．
【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）＝P（B）＝，p（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．
【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，
设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，
由题意P（A）＝＝，P（B）＝，
∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：
p（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）
＝﹣
＝．
故选：．
16．（5分）如图，在棱长为2的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（包括边界），若B1P∥平面A1BM，则C1P与底面ABCD所成角的正切值的取值范围是 ．
【分析】取BC的中点N，连接DN、B1N、B1D，利用面面平行的判定定理可证得面B1DN∥面A1BM，从而确定点P在线段DN上运动；连接CP、C1P，则∠C1PC为直线C1P与面ABCD所成的角，而tan∠C1PC＝＝，于是求出线段CP的取值范围即可得解．
【解答】解：如图所示，取BC的中点N，连接DN、B1N、B1D，则B1N∥A1M，DN∥BM，
∵B1N∩DN＝N，B1N、DN⊂面B1DN，A1M∩BM＝M，A1M、BM⊂面A1BM，
∴面B1DN∥面A1BM，
∵B1P∥平面A1BM，且点P在底面ABCD上，∴点P在线段DN上运动．
连接CP、C1P，则∠C1PC为直线C1P与面ABCD所成的角，
∴tan∠C1PC＝＝．
在Rt△CDN中，当点P与点D重合时，CP最长为2；
当CP⊥DN时，CP最短为，即CP∈[]，
∴tan∠C1PC∈[1，]．
故答案为：[1，]．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数k的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
【分析】（1）利用向量平行的性质求出k＝﹣6，由此能求出的值．
（2）利用向量垂直的性质能求出实数k．
（3）由与的夹角是钝角，得到且与不共线．由此能求出实数k的取值范围．
【解答】解：（1）因为向量，，且，
所以1×k﹣2×（﹣3）＝0，解得k＝﹣6，
所以．
（2）因为，且，
所以1×（﹣5）+2×（2+2k）＝0，解得，
（3）因为与的夹角是钝角，
则且与不共线．
即1×（﹣3）+2×k＜0且k≠﹣6，
所以且k≠﹣6．
18．（12分）如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（1）求证：GF∥平面ABC；
（2）求证：BC⊥平面ACD；
（3）求BD和平面ACD所成角的大小，
【分析】（1）取BE的中点H，连接HF，GH．通过证明平面HGF∥平面ABC．然后说明GF∥平面ABC；
（2）由已知得AD⊥AB，结合平面ABED⊥平面ABC，可得AD⊥平面ABC，进一步得到AD⊥BC，再由勾股定理证得AC⊥BC，即可得到BC⊥平面ACD；
（3）由（2）可知∠BDC为BD和平面ACD所成的角，求解三角形得答案．
【解答】（1）证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH．
∵G，F分别是EC和BD的中点，
∴HG∥BC，HF∥DE．
又∵四边形ADEB为正方形，
∴DE∥AB，从而HF∥AB．
∵BC⊂平面ABC，HG⊄平面ABC，∴HG∥平面ABC，
同理HF∥平面ABC，又HG∩HF＝H，
∴平面HGF∥平面ABC，则GF∥平面ABC；
（2）证明：∵ADEB为正方形，∴AD⊥AB．
又∵平面ABED⊥平面ABC，且平面ABED∩平面ABC＝AB，
∴AD⊥平面ABC，则AD⊥BC，
∵AC＝BC＝AB，AB＝1，∴，
则CA2+CB2＝AB2，得AC⊥BC．
又AD∩AC＝A，∴BC⊥平面ACD；
（3）解：由（2）知，BC⊥平面ACD，
∴∠BDC为BD和平面ACD所成的角，
在Rt△BCD中，BC＝，BD＝，∴sin，
可得∠BDC＝30°，
即BD和平面ACD所成角的大小为30°．
19．（12分）在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间．某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如表格：
潜伏期（单位：天）
[0，2]
（2，4]
（4，6]
（6，8]
（8，10]
（10，12]
（12，14]
人
数
60岁及以上
2
5
8
7
5
2
1
60岁以下
0
2
2
4
9
2
1
（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
【分析】（1）调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，由此能求出该地区A病毒患者中，60岁以下的人数．
（2）利用频数分布表能求出50名患者的平均潜伏期．
（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在10～12天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，从六人中抽取两人，利用列举法能求出这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
【解答】解：（1）调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，
因此该地区A病毒患者中，60岁以下的人数估计有人；
（2）50名患者的平均潜伏期为：
（天）；
（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，
其中潜伏期在10～12天的四人编号为：1，2，3，4，
潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，
从六人中抽取两人包括15个基本事件，分别为：
1，2；1，3； 1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6．
记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A，则事件A包括8个，
所以这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
20．（12分）①cosB＝2﹣2sincos，
②bsinC＝ccosB，
③（b+a）（b﹣a）＝c2﹣ac三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝4，c＝b，_____，
（1）求B；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）若选①，利用两角和的正弦公式可求sin（B+）＝1，进而可得B的值；
若选②，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanB的值，结合B的范围可求B的值；
若选③，利用余弦定理可得cosB，进而可求B；
（2）由正弦定理可求sinC，可得C＝或，进而分类讨论利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）若选①，cosB＝2−2sincos，
可得cosB+sinB＝2，
可得：sin（B+）＝1，
因为B∈（0，π），
可得B+∈（，），
可得B+＝，
可得B＝；
若选②，bsinC＝ccosB，
由正弦定理可得sinBsinC＝sinCcosB，
因为sinC≠0，
可得sinB＝cosB，即tanB＝，
因为B∈（0，π），可得B＝；
若选③，因为（b+a）（b﹣a）＝c2﹣ac，
可得c2+a2﹣b2＝ac，
可得cosB＝＝＝，
因为B∈（0，π），可得B＝；
（2）结合（1）因为c＝b，利用正弦定理可得＝＝，
所以sinC＝，所以C＝或，
当C＝时，A＝，
因为a＝4，
所以b＝2，c＝2，
可得：S△ABC＝bc＝×2×2＝2，
当C＝时，A＝，
所以A＝B，又因为a＝4，所以b＝4，
S△ABC＝absinC＝×4×4×＝4．
21．（12分）某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满1000元，可参与抽奖，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球．小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金20元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金10元；若抽到其余编号的小球，则不中奖．现某顾客依次有放回的抽奖两次．
（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；
（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为20元的概率．
【分析】（1）先列举所有的结果，两次都没有中奖的情况有（1，1），（1，5），（5，1），（5，5），共4种，根据概率公式计算即可，
（2）分类求出顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）该顾客有放回的抽奖两次的所有的结果如下：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共有25种，
两次都没有中奖的情况有（1，1），（1，5），（5，1），（5，5），共4种，
∴两次都没有中奖的概率为P＝．
（2）两次抽奖奖金之和为20元的情况有：
①第一次获奖20元，第二次没有获奖，其结果有（3，1），（3，5），故概率为P1＝，
②两次获奖10元，其结果有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），故概率为P2＝，
②第一次没有中奖，第二次获奖20元，其结果有（1，3），（5，3），故概率为P3＝，
∴所求概率P＝P1+P2+P3＝．
22．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为a，E，F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF＝x．
（1）当x为何值时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大？
（2）求三棱锥B1﹣BEF的体积最大时，二面角B1﹣EF﹣B的正切值；
（3）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围．
【分析】（1）求出体积的表面积，利用二次函数的最值求解即可．
（2）取EF中点O，E，F为AB，BC中点时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大．说明∠B1OB就是二面角B1﹣EF﹣B的平面角．然后求解二面角B1﹣EF﹣B的正切值即可．
（3）说明∠HA1E（或补角）是异面直线A1E与B1F所成的角推出，然后求解角的范围即可．
【解答】解：（1）因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，所以BB1⊥平面ABCD
所以，（2分）
当时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大． （3分）
（2）取EF中点O，由（1）知，E，F为AB，BC中点时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大．
所以BE＝BF，B1E＝B1F，因此BO⊥EF，B1O⊥EF，
所以∠B1OB就是二面角B1﹣EF﹣B的平面角． （5分）
在Rt△BEF中，
在Rt△BB1O中，，
三棱锥B1﹣BEF的体积最大时，二面角B1﹣EF﹣B的正切值为． （7分）
（3）在AD上取点H使AH＝BF＝AE，则在正方形ABCD中，HF∥AB，HF＝AB，
因为，AB∥A1B1，AB＝A1B1，所以HF＝A1B1，HF∥A1B1，所以A1H∥B1F，
所以∠HA1E（或补角）是异面直线A1E与B1F所成的角． （9分）
在Rt△A1AH中，，
在Rt△A1AE中，，
在Rt△HAE中，，
在△HA1E中，，（10分）
因为0＜x≤a，所以a2＜x2+a2≤2a2，所以，
所以，所以
所以异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围为． （12分）
2020-2021学年广东省深圳外国语学校高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知i为虚数单位，则复数＝（ ）
A．i B．﹣i C．﹣i D．﹣i
2．（5分）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（ ）
A．所取的3个球中至少有一个白球
B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C．所取的3个球都是黑球
D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
3．（5分）已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
4．（5分）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．据说阿基米德对这个图最引以为自豪．在该图中，圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．2：1 B．：2 C．3：2 D．4：3
5．（5分）为了了解高二学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是（ ）
A．32人 B．27人 C．24人 D．33人
6．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥P﹣ABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝4，二面角P﹣BC﹣A为60°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为（ ）
A．16π B．20π C．π D．32π
7．（5分）已知O为正三角形ABC内一点，且满足+λ+（1+λ）＝，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．（5分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsinA，则cosA+sinC的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）已知复数z满足z（2﹣i）＝i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．
B．＝﹣
C．复数z的实部为﹣1
D．复数z对应复平面上的点在第二象限
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A．A：B：C＝a：b：c
B．＝
C．若sinA＜sinB，则A＜B
D．若sin2A＝sin2B，则a＝b
11．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则（ ）
A．点P与点B到平面DEF的距离相等
B．直线PB与直线DF垂直
C．三棱锥D﹣BEF的体积为18
D．平面DEF截三棱锥P﹣ABC所得的截面面积为12
12．（5分）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的有（ ）
A．＝﹣
B．+＝﹣
C．
D．在向量上的投影为﹣
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若向量，，与共线，则实数k＝ ．
14．（5分）一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为 ．
15．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为 ．
16．（5分）如图，在棱长为2的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（包括边界），若B1P∥平面A1BM，则C1P与底面ABCD所成角的正切值的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数k的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
18．（12分）如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（1）求证：GF∥平面ABC；
（2）求证：BC⊥平面ACD；
（3）求BD和平面ACD所成角的大小，
19．（12分）在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间．某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如表格：
潜伏期（单位：天）
[0，2]
（2，4]
（4，6]
（6，8]
（8，10]
（10，12]
（12，14]
人
数
60岁及以上
2
5
8
7
5
2
1
60岁以下
0
2
2
4
9
2
1
（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
20．（12分）①cosB＝2﹣2sincos，
②bsinC＝ccosB，
③（b+a）（b﹣a）＝c2﹣ac三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝4，c＝b，_____，
（1）求B；
（2）求△ABC的面积．
21．（12分）某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满1000元，可参与抽奖，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球．小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金20元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金10元；若抽到其余编号的小球，则不中奖．现某顾客依次有放回的抽奖两次．
（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；
（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为20元的概率．
22．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为a，E，F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF＝x．
（1）当x为何值时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大？
（2）求三棱锥B1﹣BEF的体积最大时，二面角B1﹣EF﹣B的正切值；
（3）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围．
2020-2021学年广东省深圳外国语学校高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知i为虚数单位，则复数＝（ ）
A．i B．﹣i C．﹣i D．﹣i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：＝．
故选：A．
2．（5分）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（ ）
A．所取的3个球中至少有一个白球
B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C．所取的3个球都是黑球
D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
【分析】事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1白，由此能求出与事件A互斥的事件．
【解答】解：从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，
事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1白，
∴与事件A互斥的事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球．
故选：B．
3．（5分）已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
【分析】A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定；
B，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或异面，；
C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定判定；
D，根据面面垂直的判定；
【解答】解：对于A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定A正确；
对于B，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或异面，故错；
对于C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定，可知C正确；
对于D，根据面面垂直的判定，可D正确；
故选：B．
4．（5分）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．据说阿基米德对这个图最引以为自豪．在该图中，圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．2：1 B．：2 C．3：2 D．4：3
【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理运算即可得到结果．
【解答】解：由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R，
圆柱的高h＝2R，则V球＝πR3，
V柱＝πr2h＝π•R2•2R＝2πR3．
∴＝＝．
故选：C．
5．（5分）为了了解高二学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是（ ）
A．32人 B．27人 C．24人 D．33人
【分析】根据题意可得该班六个分数段的概率比例依次为2：3：5：6：3：1，进而得到成绩在（80，90）与（90，100）之间的学生人数的概率，即可得到答案．
【解答】解：由题意可得：从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，
所以（60，70），（70，80），（80，90），（90，100），（100，110），（110，120）各分数段的概率之比为2：3：5：6：3：1，
所以该班学生数学成绩在（80，90）与（90，100）之间的学生人数的概率分别为：．
所以该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是：60×＝33．
故选：D．
6．（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥P﹣ABCD为阳马，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝4，二面角P﹣BC﹣A为60°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为（ ）
A．16π B．20π C．π D．32π
【分析】由题意可得∠PBA为二面角P﹣BC﹣A是60°，进而由题意可得PA的长度，再由题意可得四棱锥P﹣ABCD的外接球就是以AB，AD，AP为邻边的长方体的三条棱的外接球，有长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．
【解答】解因为底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，AB⊥BC，而PA∩AB＝A，所以BC⊥面PAB，所以BC⊥PB，
所以∠PBA为面角P﹣BC﹣A为60°，即∠PBA＝60°，
在△PAB中，PA＝AB•tan60°＝2•＝2，
由题意可得四棱锥P﹣ABCD的外接球就是以AB，AD，AP为邻边的长方体的三条棱的外接球，设外接球的半径为R，
则2R＝＝＝，
所以四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积S＝4πR2＝32π，
故选：D．
7．（5分）已知O为正三角形ABC内一点，且满足+λ+（1+λ）＝，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到①；由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到＝，②．由①②可得O分DE所成的比，从而得出λ的值．
【解答】解：，
变为．
如图，D，E分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知
故①
在正三角形ABC中，
∵＝＝，
且三角形AOC与三角形ADC同底边AC，
故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一，
故＝，⇒＝﹣②
由①②得λ＝．
故选：A．
8．（5分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsinA，则cosA+sinC的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，确定出B的度数，进而表示出A+C的度数，用A表示出C，代入所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出范围即可．
【解答】解：已知等式a＝2bsinA利用正弦定理化简得：sinA＝2sinBsinA，
∵sinA≠0，
∴sinB＝，
∵B为锐角，
∴B＝30°，即A+C＝150°，
∴cosA+sinC＝cosA+sin（150°﹣A）＝cosA+cosA+sinA＝cosA+sinA＝（cosA+sinA）＝sin（A+60°），
∵60°＜A＜90°，
∴120°＜A+60°＜150°，
∴＜sin（A+60°）＜，即＜sin（A+60°）＜，
则cosA+sinC的取值范围是（，）．
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）已知复数z满足z（2﹣i）＝i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．
B．＝﹣
C．复数z的实部为﹣1
D．复数z对应复平面上的点在第二象限
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由z（2﹣i）＝i，得z＝，
∴|z|＝＝，故A错误；
，故B正确；
复数z的实部为﹣，故C错误；
复数z对应复平面上的点的坐标为（，），在第二象限，故D正确．
故选：BD．
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A．A：B：C＝a：b：c
B．＝
C．若sinA＜sinB，则A＜B
D．若sin2A＝sin2B，则a＝b
【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项即可求解．
【解答】解：对于A，若A＝，B＝，C＝，可得A：B：C＝：：＝3：2：1，
由正弦定理，可得a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝1：：＝2：：1，
则A：B：C≠a：b：c，故A错误；
对于B，由正弦定理，
可得右边＝＝＝2R＝左边，故B正确；
对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sinA＜sinB
⇔a＜b
⇔A＜B，
因此，在△ABC中，A＜B是sinA＞sinB的充要条件，故C正确；
对于D，由sin2A＝sin2B，可得A＝B，或2A+2B＝π，即A＝B，或A+B＝，
所以：a＝b，或a2+b2＝c2，故D错误；
故选：BC．
11．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则（ ）
A．点P与点B到平面DEF的距离相等
B．直线PB与直线DF垂直
C．三棱锥D﹣BEF的体积为18
D．平面DEF截三棱锥P﹣ABC所得的截面面积为12
【分析】取PB的中点M，连接DM，FM，证明平面DEF即为平面MDEF，即可判断选项A，假设直线PB与直线DF垂直，然后利用线面垂直的判定定理和性质定理进行推理，即可判断选项B，利用锥体的体积公式进行求解，即可判断选项C，由截面为四边形DEFM是矩形，求解面积即可判断选项D．
【解答】解：对于A，取PB的中点M，连接DM，FM，
因为M、D、E、F分别为棱PB、PC、AC、AB的中点，
所以DM∥BC，EF∥BC，MF∥PA，DE∥PA，
故MF∥DE，EF∥MD，
则平面DEF即为平面MDEF，
故直线PB与平面MDEF相交于点M，且M为PB的中点，
所以点P与点B到平面DEF的距离相等，
故选项A正确；
对于B，假设直线PB与直线DF垂直，
因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
故PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，
则BC⊥PB，
因为EF∥BC，则EF⊥PB，
又PB⊥DF，且EF∩DF＝F，EF，DF⊂平面DEF，
则PB⊥平面DEF，这与AB⊥平面DEF矛盾，
所以假设不成立，则直线PB与直线DF不垂直，
故选项B错误；
对于C，因为D，E分别为PC，AC的中点，
则PA∥DE且DE＝，
又PA⊥平面ABC，则DE⊥平面ABC，
又EF＝4，BF＝3，
所以，
故选项C错误；
对于D，由选项A，可知平面DEF截三棱锥P﹣ABC所得的截面为四边形DEFM，
因为∠ABC＝90°，则四边形DEFM为矩形，
则，
所以S四边形DEFM＝2S△DEF＝12，
故选项D正确．
故选：AD．
12．（5分）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的有（ ）
A．＝﹣
B．+＝﹣
C．
D．在向量上的投影为﹣
【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．
【解答】解：图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，
对于A：＝1×1×cos＝﹣；故正确．
对于B：＝＝﹣，故正确．
对于C：∵||＝||，||＝||，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．
对于D：在向量上的投影||cos＝﹣||，||≠1，故错误．
故选：AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若向量，，与共线，则实数k＝ ．
【分析】利用向量坐标运算法则，求出与，再由向量共线的性质列方程，能求出k．
【解答】解：∵，，
∴，
，
∵与共线，
∴4k﹣（2k﹣1）＝0，解得．
故答案为：．
14．（5分）一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为 4.5 ．
【分析】因为10×80%＝8，将数据从小到大排序第8个数据和第9个数据的平均数为第80%分位数．
【解答】解：将数据从小到大排序：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，共10个数据．
因为10×80%＝8，所以第8个数据和第9个数据的平均数为第80%分位数，为．
故答案为：4.5．
15．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为 ．
【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）＝P（B）＝，p（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．
【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，
设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，
由题意P（A）＝＝，P（B）＝，
∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：
p（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）
＝﹣
＝．
故选：．
16．（5分）如图，在棱长为2的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（包括边界），若B1P∥平面A1BM，则C1P与底面ABCD所成角的正切值的取值范围是 ．
【分析】取BC的中点N，连接DN、B1N、B1D，利用面面平行的判定定理可证得面B1DN∥面A1BM，从而确定点P在线段DN上运动；连接CP、C1P，则∠C1PC为直线C1P与面ABCD所成的角，而tan∠C1PC＝＝，于是求出线段CP的取值范围即可得解．
【解答】解：如图所示，取BC的中点N，连接DN、B1N、B1D，则B1N∥A1M，DN∥BM，
∵B1N∩DN＝N，B1N、DN⊂面B1DN，A1M∩BM＝M，A1M、BM⊂面A1BM，
∴面B1DN∥面A1BM，
∵B1P∥平面A1BM，且点P在底面ABCD上，∴点P在线段DN上运动．
连接CP、C1P，则∠C1PC为直线C1P与面ABCD所成的角，
∴tan∠C1PC＝＝．
在Rt△CDN中，当点P与点D重合时，CP最长为2；
当CP⊥DN时，CP最短为，即CP∈[]，
∴tan∠C1PC∈[1，]．
故答案为：[1，]．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数k的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
【分析】（1）利用向量平行的性质求出k＝﹣6，由此能求出的值．
（2）利用向量垂直的性质能求出实数k．
（3）由与的夹角是钝角，得到且与不共线．由此能求出实数k的取值范围．
【解答】解：（1）因为向量，，且，
所以1×k﹣2×（﹣3）＝0，解得k＝﹣6，
所以．
（2）因为，且，
所以1×（﹣5）+2×（2+2k）＝0，解得，
（3）因为与的夹角是钝角，
则且与不共线．
即1×（﹣3）+2×k＜0且k≠﹣6，
所以且k≠﹣6．
18．（12分）如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（1）求证：GF∥平面ABC；
（2）求证：BC⊥平面ACD；
（3）求BD和平面ACD所成角的大小，
【分析】（1）取BE的中点H，连接HF，GH．通过证明平面HGF∥平面ABC．然后说明GF∥平面ABC；
（2）由已知得AD⊥AB，结合平面ABED⊥平面ABC，可得AD⊥平面ABC，进一步得到AD⊥BC，再由勾股定理证得AC⊥BC，即可得到BC⊥平面ACD；
（3）由（2）可知∠BDC为BD和平面ACD所成的角，求解三角形得答案．
【解答】（1）证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH．
∵G，F分别是EC和BD的中点，
∴HG∥BC，HF∥DE．
又∵四边形ADEB为正方形，
∴DE∥AB，从而HF∥AB．
∵BC⊂平面ABC，HG⊄平面ABC，∴HG∥平面ABC，
同理HF∥平面ABC，又HG∩HF＝H，
∴平面HGF∥平面ABC，则GF∥平面ABC；
（2）证明：∵ADEB为正方形，∴AD⊥AB．
又∵平面ABED⊥平面ABC，且平面ABED∩平面ABC＝AB，
∴AD⊥平面ABC，则AD⊥BC，
∵AC＝BC＝AB，AB＝1，∴，
则CA2+CB2＝AB2，得AC⊥BC．
又AD∩AC＝A，∴BC⊥平面ACD；
（3）解：由（2）知，BC⊥平面ACD，
∴∠BDC为BD和平面ACD所成的角，
在Rt△BCD中，BC＝，BD＝，∴sin，
可得∠BDC＝30°，
即BD和平面ACD所成角的大小为30°．
19．（12分）在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间．某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如表格：
潜伏期（单位：天）
[0，2]
（2，4]
（4，6]
（6，8]
（8，10]
（10，12]
（12，14]
人
数
60岁及以上
2
5
8
7
5
2
1
60岁以下
0
2
2
4
9
2
1
（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
【分析】（1）调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，由此能求出该地区A病毒患者中，60岁以下的人数．
（2）利用频数分布表能求出50名患者的平均潜伏期．
（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在10～12天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，从六人中抽取两人，利用列举法能求出这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
【解答】解：（1）调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，
因此该地区A病毒患者中，60岁以下的人数估计有人；
（2）50名患者的平均潜伏期为：
（天）；
（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，
其中潜伏期在10～12天的四人编号为：1，2，3，4，
潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，
从六人中抽取两人包括15个基本事件，分别为：
1，2；1，3； 1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6．
记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A，则事件A包括8个，
所以这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
20．（12分）①cosB＝2﹣2sincos，
②bsinC＝ccosB，
③（b+a）（b﹣a）＝c2﹣ac三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝4，c＝b，_____，
（1）求B；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）若选①，利用两角和的正弦公式可求sin（B+）＝1，进而可得B的值；
若选②，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanB的值，结合B的范围可求B的值；
若选③，利用余弦定理可得cosB，进而可求B；
（2）由正弦定理可求sinC，可得C＝或，进而分类讨论利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）若选①，cosB＝2−2sincos，
可得cosB+sinB＝2，
可得：sin（B+）＝1，
因为B∈（0，π），
可得B+∈（，），
可得B+＝，
可得B＝；
若选②，bsinC＝ccosB，
由正弦定理可得sinBsinC＝sinCcosB，
因为sinC≠0，
可得sinB＝cosB，即tanB＝，
因为B∈（0，π），可得B＝；
若选③，因为（b+a）（b﹣a）＝c2﹣ac，
可得c2+a2﹣b2＝ac，
可得cosB＝＝＝，
因为B∈（0，π），可得B＝；
（2）结合（1）因为c＝b，利用正弦定理可得＝＝，
所以sinC＝，所以C＝或，
当C＝时，A＝，
因为a＝4，
所以b＝2，c＝2，
可得：S△ABC＝bc＝×2×2＝2，
当C＝时，A＝，
所以A＝B，又因为a＝4，所以b＝4，
S△ABC＝absinC＝×4×4×＝4．
21．（12分）某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满1000元，可参与抽奖，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球．小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金20元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金10元；若抽到其余编号的小球，则不中奖．现某顾客依次有放回的抽奖两次．
（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；
（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为20元的概率．
【分析】（1）先列举所有的结果，两次都没有中奖的情况有（1，1），（1，5），（5，1），（5，5），共4种，根据概率公式计算即可，
（2）分类求出顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）该顾客有放回的抽奖两次的所有的结果如下：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共有25种，
两次都没有中奖的情况有（1，1），（1，5），（5，1），（5，5），共4种，
∴两次都没有中奖的概率为P＝．
（2）两次抽奖奖金之和为20元的情况有：
①第一次获奖20元，第二次没有获奖，其结果有（3，1），（3，5），故概率为P1＝，
②两次获奖10元，其结果有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），故概率为P2＝，
②第一次没有中奖，第二次获奖20元，其结果有（1，3），（5，3），故概率为P3＝，
∴所求概率P＝P1+P2+P3＝．
22．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为a，E，F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF＝x．
（1）当x为何值时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大？
（2）求三棱锥B1﹣BEF的体积最大时，二面角B1﹣EF﹣B的正切值；
（3）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围．
【分析】（1）求出体积的表面积，利用二次函数的最值求解即可．
（2）取EF中点O，E，F为AB，BC中点时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大．说明∠B1OB就是二面角B1﹣EF﹣B的平面角．然后求解二面角B1﹣EF﹣B的正切值即可．
（3）说明∠HA1E（或补角）是异面直线A1E与B1F所成的角推出，然后求解角的范围即可．
【解答】解：（1）因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，所以BB1⊥平面ABCD
所以，（2分）
当时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大． （3分）
（2）取EF中点O，由（1）知，E，F为AB，BC中点时，三棱锥B1﹣BEF的体积最大．
所以BE＝BF，B1E＝B1F，因此BO⊥EF，B1O⊥EF，
所以∠B1OB就是二面角B1﹣EF﹣B的平面角． （5分）
在Rt△BEF中，
在Rt△BB1O中，，
三棱锥B1﹣BEF的体积最大时，二面角B1﹣EF﹣B的正切值为． （7分）
（3）在AD上取点H使AH＝BF＝AE，则在正方形ABCD中，HF∥AB，HF＝AB，
因为，AB∥A1B1，AB＝A1B1，所以HF＝A1B1，HF∥A1B1，所以A1H∥B1F，
所以∠HA1E（或补角）是异面直线A1E与B1F所成的角． （9分）
在Rt△A1AH中，，
在Rt△A1AE中，，
在Rt△HAE中，，
在△HA1E中，，（10分）
因为0＜x≤a，所以a2＜x2+a2≤2a2，所以，
所以，所以
所以异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围为． （12分）
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