初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程学案及答案

这是一份初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程学案及答案，共8页。学案主要包含了要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
特别说明：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
要点四、抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
【典型例题】
1．已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．
举一反三：
【变式1】 已知二次函数的图象以为顶点，且过点．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与轴的交点坐标．
【变式2】已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【变式3】 如图，抛物线y=﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．
2．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
举一反三：
【变式1】（1）已知是y关于x的二次函数．求m的值；
如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点及点
①求二次函数的解析式及B的坐标
②根据图象，直按写出满足的x的取值范围
【变式2】 已知函数.
（1）该函数图象与x轴有几个交点？请作图验证；
（2）试说明一元二次方程的根与函数的图象的关系，并把方程的根在图象上表示出来；
（3）x为何值时，函数y的值为9？
【变式3】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．
3、已知二次函数y＝x2－6x+8.求：
（1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标；
（2）抛物线的顶点坐标；
（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：
①方程x2－6x＋8＝0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？
举一反三：
【变式1】可以用如下方法估计方程的解：
当x=2时，=-2<0，
当x=-5时，=5>0，
所以方程有一个根在-5和2之间．
（1）参考上面的方法，找到方程的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
【变式2】二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
根据表格中的信息，完成下列各题：
（1）当x=3时，y=________ ；
（2）当x=_____时，y有最________ 值为________；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________ y2 ；
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是________．
【变式3】画出二次函数y＝x2－2x的图象，利用图象回答：
(1)方程x2－2x＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0?
(3)x取什么值时，函数值小于0?
4、如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．
举一反三：
【变式1】已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；
（3）当y≤时，直接写出x的取值范围是 ．
【变式2】已知函数
（1）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
（2）使成立的的值有 个.
（3）使成立的的值恰好有个，则的取值范围为 ；
（4）使成立的的值恰好有个，则的取值范围为 ；
键.
【变式3】如图，二次函数y= ax2 + bx +c经过点A(-1，0)， B(3，0)， C(0，-3).
(1)求该二次函数的解析式.
(2)利用图象的特点填空.
①当x= ___ 时方程ax2 + bx+c=-3.
当x= ___时方程ax2 +bx+c=-4.
②不等式ax2 + bx + c> 0的解集为
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
或
△＝0
（或）
无解
△＜0
全体实数
无解
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…