人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试课后作业题

第五章 三角函数（能力提升）单元检测试卷

一、单选题

1．函数的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）

A．的最小正周期是 B．在上单调递增

C．在上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴

【答案】C

【解析】由图可知，，

该三角函数的最小正周期，

故A项正确；

所以，则.

因为，所以该函数的

一条对称轴为，

将代入，

则，

解得，

故.

令，

得，

令，则

故函数在上单调递增.故B项正确；

令，

得，

令，

故函数在上单调递减.故C项错误；

令，得，

令，

故直线是的一条对称轴.故D项正确.

故选C.

2．已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，．

，又，，又，，故选B．

3．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图可得：函数图象过点，

将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，

所以，解得：

所以函数的最小正周期为

故选：C

4．如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由图象可得，函数的最小正周期为，，

将点的坐标代入函数的解析式，且函数在附近递增，

所以，，则，得，

，所以，当时，，因此，.

故选：D.

5．关于函数，，，且在上单调，有下列命题：

（1）的图象向右平移个单位后关于轴对称

（2）

（3）的图象关于点对称

（4）在上单调递增

其中正确的命题有（        ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】，

或

或

或或

因为在上单调，所以

因此或，（验证舍去）或

的图象向右平移个单位得，不关于轴对称，（1）错；

，（2）对；

，（3）错；

当时，，所以在上单调递增，（4）对；

故选：B

6．设，，，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以，，且，所以，，所以,

故选D.

7．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则的单调递减区间是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】由题设可知该函数的最小正周期，结合函数的图象可知单调递减区间是，即，等价于，应选答案D．

8．已知函数的图像与函数的图像交于M，N两点，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由得即，

即，

解得或，由可得，

或，

，，显然MN与x轴交于点，

.

故选：B.

9．设函数的定义域为， , 当时,, 则函数在区间上的所有零点的和为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，

∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，

∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），

∴f（x）是以2为周期的函数，

∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，

又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，

∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．

作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：

由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．

又g（1）=0，∴g（x）在[﹣，]上共有7个零点，

设这7个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，x7．

则x1，x2关于x=0对称，x3，x5关于x=1对称，x4=1，x6，x7关于x=2对称．

∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，

∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．

故选A．

二、多选题

10．设函数，则下列选项正确的是（    ）

A．的最小正周期是

B．在上单调递减，那么的最大值是

C．满足

D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到

【答案】ABD

【解析】，

对于A:,即A正确;

对于B: 时，单调递减，故减区间为,的最大值是,故B正确；

对于C: ，

，即不是的对称轴，故C错误；

对于D: 的图象向右平移个单位得到,故D正确.

故选：ABD.

11．函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称轴心

【答案】ACD

【解析】由函数的图象有,则，即，所以，则A正确.

由图象可得，，

所以，即,由，

所以，即,所以B不正确.

所以函数的对称轴为：，即

当时，是函数的一条对称轴，所以C正确.

所以函数的对称中心满足：，即

所以函数的对称轴心为，，所以D正确.

故选：ACD

12．设函数，给出下列命题，不正确的是（    ）．

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象

D．的最小正周期为，且在上为增函数

【答案】ABD

【解析】因为，所以A不正确；

因为，所以B不正确；

因为函数的最小正周期为，但，所以D不正确；把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，函数为偶函数，所以C正确．

故选：ABD.

三、填空题

13．已知，，则__________．

【答案】

【解析】因为，

所以，①

因为，

所以，②

①②得，

即，

解得，

故本题正确答案为

14．已知，tanα=2，则=______________．

【答案】

【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．

15．函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是______.

①的一个周期为；        ②的图象关于对称；

③是的一个零点；    ④在单调递减；

【答案】①②③

【解析】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，

，

的一个周期为，故①正确；

的对称轴满足：，，

当时，的图象关于对称，故②正确；

由，得，

是的一个零点，故③正确；

当时，，

在上单调递增，故④错误．

故答案为：①②③．

16．已知函数，点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，若，则 _____

【答案】3

【解析】作出示意图如图所示：

由，则，则，故的周期，

得，即，且，

可得，且，得,

则，得，则.

故答案为：3

17．已知函数，若，则的取值围为_________.

【答案】

【解析】由题意，函数，

又由，即，即，

因为，则，

所以或，即或，

所以实数的取值围为.

故答案为：.

四、解答题

18．已知函数，.

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.

【答案】（1）；单调递增区间为；（2）最大值为，；最小值为，.

【解析】（1），所以，该函数的最小正周期为.

解不等式，得.

因此，函数最小正周期为，单调递增区间为；

（2），.

当时，即当时，函数取得最大值，即；

当时，即当时，函数取得最小值，即.

19．设函数，其中.已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .

【解析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到

由题设知及可得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

从而.

根据得到，进一步求最小值.

试题解析：（Ⅰ）因为，

所以

由题设知，

所以，.

故，，又，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

所以.

因为，

所以，

当，

即时，取得最小值.

20．若函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，且当时，取得最小值.

（1）求的解析式；

（2）若，求的值域.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意，函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，

可得的周期，即，解得，

又因为当时，取得最小值，

所以，

所以，解得，

因为，所以，所以.

（2）因为，可得，

所以当时，取得最小值，

当时，取得最大值，

所以函数的值域是.

21．设函数．

（1）已知函数是偶函数，求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）或；（2）．

【解析】（1）由题意，函数，则，

因为函数是偶函数，所以，即，

解得，

又因为，所以或．

（2）由，可得，

所以，可得，

又由.

22．已知函数，其图象与轴相邻的两个交点的距离为.

（1）求函数的解析式；

（2）若将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调区间.

【答案】（1）（2）单调增区间为，；单调减区间为.

【解析】（1）

由已知函数的周期，，

∴.

（2）将的图象向左平移个长度单位得到的图象

∴，

∵函数的图象经过点

∴，即

∴，

∴，

∵，∴当，取最小值，此时最小值为

此时，.

令，则

当或，即当或时，函数单调递增

当，即时，函数单调递减.

∴在上的单调增区间为，；单调减区间为.